Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2026

El Ayuntamiento de Canet de Mar ha conseguido 24 entradas gratuitas para un concierto de un grupo de rock catalán, y ha decidido sortearlas entre los vecinos interesados en asistir. Todos los vecinos del pueblo seguidores de este grupo se apuntan al sorteo, y solo al 16 % les toca una entrada. Del resto de seguidores del grupo, seis séptimas partes intentan comprar una entrada por la web, donde la probabilidad de conseguirla es del 25 %.

a) ¿Cuántas personas de este municipio tienen entrada para el concierto? [0,75 puntos]
b) Si escogemos al azar un vecino de Canet seguidor de este grupo de rock y no tiene entrada para el concierto, ¿cuál es la probabilidad de que hubiera intentado conseguirla por la web? [0,75 puntos]
c) El día del concierto, el equipo de sonido mide el nivel de decibelios generado por los gritos entusiastas del público durante los 5 minutos de duración de la canción más famosa del grupo; se puede aproximar por la función siguiente:
$S(t)=-t^3+12t^2-30t+90,t\in [0,5],$
donde $t$ es el tiempo en minutos y $S(t)$ los decibelios. Cuando se superan los 100 decibelios se considera que el público está muy entregado y se activan automáticamente unos efectos lumínicos especiales. ¿Se activarán en algún momento durante estos cinco minutos? Si la respuesta es afirmativa, calcule en qué minuto se activan, aproximado a las décimas. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{personas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{municipio}}\mathbf{\text{tienen}}\mathbf{\text{entrada}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{concierto?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Llamamos $N$ al número de vecinos seguidores del grupo. Todos se apuntan al sorteo y a un $16\mathrm{\%}$ de ellos le toca una de las $24$ entradas, de manera que ese porcentaje son exactamente las entradas sorteadas.

$\mathrm{0,16}N=24\Rightarrow N={\displaystyle \frac{24}{\mathrm{0,16}}}=150$

De los $150-24=126$ seguidores que se quedan sin entrada en el sorteo, seis séptimas partes lo intentan por la web:

$126\cdot {\displaystyle \frac{6}{7}}=108$

y de esos $108$ la consigue el $25\mathrm{\%}$:

$108\cdot \mathrm{0,25}=27$

El reparto completo de los seguidores queda así:

Seguidores del grupo	Personas Consiguen la entrada en el sorteo	24 La compran después por la web	27 Lo intentan por la web y no la consiguen	81 No lo intentan por la web	18

Sumando las dos primeras filas, $24+27=51$ personas del municipio tienen entrada para el concierto.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{escogemos}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{vecino}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Canet}}\mathbf{\text{seguidor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{grupo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rock}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{entrada}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{concierto,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hubiera}}\mathbf{\text{intentado}}\mathbf{\text{conseguirla}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{web?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se pide una probabilidad condicionada. Llamamos $W$ al suceso «lo intenta por la web» y $E$ al suceso «tiene entrada», de modo que hay que calcular $P(W\mid \bar{E})$.

$P(W\mid \bar{E})={\displaystyle \frac{P(W\cap \bar{E})}{P\left(\bar{E}\right)}}$

Como la elección es al azar entre los $150$ seguidores, las probabilidades se leen directamente del recuento del apartado anterior: sin entrada hay $150-51=99$ personas, y de ellas $81$ lo intentaron por la web.

$P(W\mid \bar{E})={\displaystyle \frac{81\mathrm{/}150}{99\mathrm{/}150}}={\displaystyle \frac{81}{99}}={\displaystyle \frac{9}{11}}\approx \mathrm{0,8182}$

La probabilidad de que un seguidor sin entrada hubiera intentado comprarla por la web es ${\displaystyle \frac{9}{11}}$, algo más del $81\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Se}}\mathbf{\text{activar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{durante}}\mathbf{\text{estos}}\mathbf{\text{cinco}}\mathbf{\text{minutos?}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{afirmativa,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{minuto}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{activan,}}\mathbf{\text{aproximado}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cimas.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Hay que ver si la función $S(t)=-t^3+12t^2-30t+90$ llega a superar los $100$ decibelios en $[0,5]$. Empezamos localizando sus extremos.

$S^{\mathrm{\prime }}(t)=-3t^2+24t-30$

$S^{\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow t^2-8t+10=0\Rightarrow t={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{64-40}}{2}}=4\pm \sqrt{6}$

De las dos raíces solo $t=4-\sqrt{6}\approx \mathrm{1,55}$ está en el intervalo. Como el coeficiente principal de $S^{\mathrm{\prime }}(t)$ es negativo, $S^{\mathrm{\prime }}(t)<0$ antes de ese instante y $S^{\mathrm{\prime }}(t)>0$ después: la función decrece y luego crece, así que su máximo en $[0,5]$ se alcanza en un extremo del intervalo.

$S(0)=90S(5)=-125+300-150+90=115$

Como $S$ es continua, $S(4)=98<100$ y $S(5)=115>100$, por el teorema de Bolzano existe un instante entre el minuto $4$ y el minuto $5$ en el que se alcanzan los $100$ decibelios: los efectos lumínicos sí se activan.

$-t^3+12t^2-30t+90=100\Rightarrow t^3-12t^2+30t+10=0$

Esta ecuación de tercer grado no tiene raíces enteras, así que la aproximamos. Llamando $g(t)=t^3-12t^2+30t+10$:

$g(\mathrm{4,1})=\mathrm{0,201}>0g(\mathrm{4,2})=-\mathrm{1,592}<0$

de modo que la raíz está entre $\mathrm{4,1}$ y $\mathrm{4,2}$, y afinando algo más resulta $t\approx \mathrm{4,111}$.

Los efectos lumínicos se activan a los $\mathrm{4,1}$ minutos de empezar la canción y, como a partir de ahí $S$ sigue creciendo, permanecen encendidos hasta el final.