Examen de Matemáticas II de Castilla-La Mancha 2022 (convocatoria extraordinaria)

a) [1,75 puntos] Discuta el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a\in \mathbb{R}$:

$\{\begin{array}{l}x+2y+3z=a+1\\ ax\phantom{+2y}+z=0\\ x+y+2z=1\end{array}$

b) [0,75 puntos] Resuelva razonadamente el sistema anterior para $a=1$, si es posible.

a) [1,5 puntos] Encuentre razonadamente el valor de $a,b\in \mathbb{R}$ para que la función

$f(x)={\displaystyle \frac{ax+1}{2x+b}}$

tenga una discontinuidad de salto infinito en $x=1$ y tienda a 2 cuando $x⟶+\mathrm{\infty }$.

b) [1 punto] Resuelva la siguiente integral:

${\displaystyle \int x\cdot \cos (2x)dx}$

a) [1,5 puntos] Estudie la continuidad en $\mathbb{R}$ de la función

$f(x)=(2e^{x^2-4}-8x+14)\mathrm{/}(x^2-2x)$

b) [1 punto] Sea el determinante

$\mid \begin{array}{ccc}x& y& z\\ a& b& c\\ 1& 2& 3\end{array}\mid =2,$

donde $x,y,z,a,b,c\in \mathbb{R}$. Calcule razonadamente (e indicando las propiedades de los determinantes que utiliza) el determinante de

$\mid \begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ a-2& b-4& c-6\\ 2x& 2y& 2z\end{array}\mid$

Sea el punto $A=(1,0,1)$ y el plano $\pi \equiv x+y+z=8$.

a) [1,5 puntos] Calcule la recta perpendicular a $\pi$ y que pasa por $A$. ¿En qué punto se cortan la recta y el plano?

b) [1 punto] Obtenga el punto de la recta anterior distinto de $A$ que dista de $\pi$ igual que $A$, es decir, el punto simétrico de $A$ con respecto a $\pi$.

a) [1 punto] Sea el plano $\pi \equiv x-3y+z=0$ y los puntos $A=(0,0,-1)$ y $B=(1,1,1)$. Obtenga el plano perpendicular a $\pi$ y que contiene a $A$ y $B$.

b) [1,5 puntos] Calcule el área de la región delimitada por las funciones $f(x)=x^2-4x+5$ y $g(x)=3-x$.

a) [1,5 puntos] Sea el tetraedro cuyos vértices son los puntos $A=(a,0,1)$, $B=(1,3,0)$, $C=(0,1,0)$ y $D=(1,1,1)$, con $a\in \mathbb{R}$. Halle los valores de $a$ para que el volumen de dicho tetraedro sea 1.

b) [1 punto] Enuncie el teorema de Bolzano. Utilice este teorema para razonar que la función

$f(x)=(2e^x-8x-3)\mathrm{/}(x^2+2)$

corta al eje de abscisas al menos una vez.

a) [1,5 puntos] Despeje la matriz $X$ de la ecuación matricial $A\cdot X+B=X$, siendo $X$, $A$ y $B$ matrices cuadradas cualesquiera. Calcule $X$ para las matrices

$A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 0& 2\end{array}\right);B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 2\end{array}\right)$

b) [1 punto] Un piloto de Fórmula 1 tiene una probabilidad del 60 % de ganar una carrera cualquiera. Si participa en las próximas 4 carreras, ¿cuál es la probabilidad de que gane al menos dos?

a) En un determinado I.E.S. la probabilidad de que un alumno apruebe si va a clase es del 80 % mientras que si no va a clase es del 50 %. El 90 % de los alumnos va a clase.

a.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe?

a.2) [0,75 puntos] Si un alumno ha suspendido, ¿cuál es la probabilidad de que no haya ido a clase?

b) Una empresa embotelladora de agua produce botellas de 150 ml. La cantidad que realmente contienen sigue una distribución normal con media 150 ml y desviación típica 5 ml.

b.1) [0,5 puntos] ¿Qué proporción de las botellas contiene más de 152 ml?

b.2) [0,75 puntos] ¿Qué proporción de botellas tiene entre 149 y 152 ml?