Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

a) [1,75 puntos] Discuta el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a\in \mathbb{R}$:

$\{\begin{array}{l}x+2y+3z=a+1\\ ax\phantom{+2y}+z=0\\ x+y+2z=1\end{array}$

b) [0,75 puntos] Resuelva razonadamente el sistema anterior para $a=1$, si es posible.

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada, y discutimos comparando sus rangos con el número de incógnitas, según el teorema de Rouché-Frobenius.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ a& 0& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& a+1\\ a& 0& 1& 0\\ 1& 1& 2& 1\end{array}\right)$

Anulamos el determinante de la matriz de coeficientes.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ a& 0& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\mid =0+2+3a-0-1-4a=1-a$

$1-a=0\Rightarrow a=1$

Si $a\mathrm{\ne }1$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

luego el sistema es compatible determinado, con solución única.

Si $a=1$, la matriz ampliada queda

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 2\\ 1& 0& 1& 0\\ 1& 1& 2& 1\end{array}\right)$

El menor $\mid \begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 0\end{array}\mid =-2\mathrm{\ne }0$ y $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0$, de modo que $\mathrm{ran}(A)=2$. Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 1& 0& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\mid =0+0+2-0-0-2=0$

Ese es el único menor de orden $3$ de $A^{\ast }$ que quedaba por estudiar, y también se anula, así que $\mathrm{ran}(A^{\ast })=2$.

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones dependientes de un parámetro.



Sí es posible: por el apartado anterior el sistema es compatible indeterminado. Nos quedamos con las dos ecuaciones del menor no nulo —la primera y la segunda— y pasamos $z$ al segundo miembro como parámetro.

$\{\begin{array}{l}x+2y=2-3\lambda \\ x=-\lambda \end{array},z=\lambda$

De la segunda ecuación, $x=-\lambda$. Sustituyendo en la primera:

$-\lambda +2y=2-3\lambda \Rightarrow 2y=2-2\lambda \Rightarrow y=1-\lambda$

La solución del sistema para $a=1$ es

$\{\begin{array}{l}x=-\lambda \\ y=1-\lambda \\ z=\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

Se comprueba en la tercera ecuación, que no habíamos usado: $-\lambda +1-\lambda +2\lambda =1$.