Examen de Matemáticas II de Castilla-La Mancha 2020 (convocatoria ordinaria)

a) [1,25 puntos] Determine razonadamente los valores de $a$ para los que la matriz $A$ no tiene inversa

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& a+1& 2& 1\\ 0& 2& 1& a\\ a& 0& 1& 0\\ a& 0& 2& 0\end{array}\right)$

b) [1,25 puntos] Calcule razonadamente todos los posibles valores $x,y,z$ para que el producto de las matrices $C=\left(\begin{array}{cc}x& 1\\ y& z\end{array}\right)$ y $D=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$ conmute.

a) [1,75 puntos] Discuta el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a\in \mathbb{R}$:

$\{\begin{array}{l}ax-ay-z=a\\ ax-ay\phantom{-z}=a\\ ax+2y-z=1\end{array}$

b) [0,75 puntos] Resuelva razonadamente el sistema anterior para $a=2$, si es posible.

Dada la función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{3}{x-2}}& \text{si }x<2\\ \cos (\pi x)& \text{si }2\le x\le 3\\ {\displaystyle \frac{\ln (x-2)}{3-x}}& \text{si }x>3\end{array}$

a) [1,5 puntos] Determine razonadamente los puntos en los que la función es continua, calcule los puntos en los que es discontinua y clasifique el tipo de discontinuidad, si los hubiera.

b) [1 punto] Calcule razonadamente el siguiente límite: ${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{x{e}^{-x}}{1+2x-\cos (x^2)}}$.

Sea la función $f(x)={\displaystyle \frac{x^2-2x+1}{x^2+1}}$.

a) [1,5 puntos] Halle razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de la función $f(x)$ y clasifíquelos.

b) [1 punto] Calcule la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x=0$.

a) [1,25 puntos] Calcule razonadamente la siguiente integral: ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{3x-2}{x^2-2x+1}}dx}$.

b) [1,25 puntos] Calcule, justificadamente, el área acotada del recinto limitado por la gráfica de la función $g(x)=-x^3+2x^2+3x$ y el eje de abscisas.

Dados los planos ${\pi }_1\equiv 2x+y+z-2=0$ y ${\pi }_2\equiv \{\begin{array}{l}x=-1+\lambda -\mu \\ y=-\lambda +\mu \\ z=-2+2\lambda \end{array}$.

a) [1 punto] Calcule razonadamente el ángulo que forman los dos planos.

b) [1,5 puntos] Halle razonadamente el volumen del tetraedro formado por el punto $P(3,-3,2)$ y los puntos de corte del plano ${\pi }_1$ con los ejes coordenados.

Dados el plano $\pi \equiv \{\begin{array}{l}x=-1+\mu \\ y=1+\lambda +a\mu \\ z=1+2\lambda -\mu \end{array}$ y la recta $s\equiv \{\begin{array}{l}x-2y=1-b\\ z=-3\end{array}$.

a) [1,5 puntos] Calcule razonadamente el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que la recta $s$ esté contenida en el plano $\pi$.

b) [1 punto] Si $a=0$ y $b=3$, calcule razonadamente la ecuación en forma implícita de la recta $r$ que pasa por el punto $P(1,-1,-8)$, es paralela al plano $\pi$ y perpendicular a la recta $s$.

a) En un servicio de emergencias el 60 % de los avisos que se reciben se clasifican con el código amarillo, el 30 % con el naranja y el 10 % con el rojo. Se sabe que el porcentaje de avisos recibidos que son falsas alarmas es 3 % en el caso de código amarillo, 2 % en el naranja y 1 % en el rojo. Si se recibe un aviso,

a.1) [0,5 puntos] ¿qué probabilidad hay de que se trate de una falsa alarma?

a.2) [0,75 puntos] Si se sabe que el aviso recibido no ha sido falsa alarma, ¿qué probabilidad hay de que haya sido un aviso código rojo o naranja?

b) Si en una centralita se reciben 9 avisos,

b.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que la centralita reciba 2 o menos avisos naranjas?

b.2) [0,75 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que todos los avisos sean amarillos o naranjas?