Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2020

a) En un servicio de emergencias el 60 % de los avisos que se reciben se clasifican con el código amarillo, el 30 % con el naranja y el 10 % con el rojo. Se sabe que el porcentaje de avisos recibidos que son falsas alarmas es 3 % en el caso de código amarillo, 2 % en el naranja y 1 % en el rojo. Si se recibe un aviso,

a.1) [0,5 puntos] ¿qué probabilidad hay de que se trate de una falsa alarma?

a.2) [0,75 puntos] Si se sabe que el aviso recibido no ha sido falsa alarma, ¿qué probabilidad hay de que haya sido un aviso código rojo o naranja?

b) Si en una centralita se reciben 9 avisos,

b.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que la centralita reciba 2 o menos avisos naranjas?

b.2) [0,75 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que todos los avisos sean amarillos o naranjas?

Nombramos los sucesos del apartado a): $A$, $N$ y $R$, el aviso se clasifica con código amarillo, naranja o rojo, y $F$, el aviso resulta ser una falsa alarma. Los tres primeros forman un sistema completo. El árbol del experimento es:



$\mathbf{\text{a.1)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{trate}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{falsa}}\mathbf{\text{alarma?}}$

Aplicamos el teorema de la probabilidad total, sumando las tres ramas que acaban en falsa alarma.

$P(F)=P(A)\cdot P(F\mid A)+P(N)\cdot P(F\mid N)+P(R)\cdot P(F\mid R)$

$P(F)=\mathrm{0,60}\cdot \mathrm{0,03}+\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,02}+\mathrm{0,10}\cdot \mathrm{0,01}$

$P(F)=\mathrm{0,018}+\mathrm{0,006}+\mathrm{0,001}=\mathrm{0,025}$

La probabilidad de que un aviso sea una falsa alarma es $\mathrm{0,025}$, es decir, un $\mathrm{2,5}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{a.2)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sabe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{aviso}}\mathbf{\text{recibido}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{falsa}}\mathbf{\text{alarma,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{aviso}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{digo}}\mathbf{\text{rojo}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{naranja?}}$

Que no sea falsa alarma es el suceso contrario del anterior.

$P(\bar{F})=1-P(F)=1-\mathrm{0,025}=\mathrm{0,975}$

Los sucesos «naranja» y «rojo» son incompatibles, así que la probabilidad de su unión es la suma. Aplicamos el teorema de Bayes a cada uno y sumamos los numeradores.

$P(N\cup R\mid \bar{F})={\displaystyle \frac{P(N)P(\bar{F}\mid N)+P(R)P(\bar{F}\mid R)}{P(\bar{F})}}$

$={\displaystyle \frac{\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,98}+\mathrm{0,10}\cdot \mathrm{0,99}}{\mathrm{0,975}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,294}+\mathrm{0,099}}{\mathrm{0,975}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,393}}{\mathrm{0,975}}}$

$P(N\cup R\mid \bar{F})={\displaystyle \frac{131}{325}}\approx \mathrm{0,4031}$

Si el aviso no ha sido falsa alarma, la probabilidad de que fuese código rojo o naranja es $\mathrm{0,4031}$, es decir, un $\mathrm{40,31}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b.1)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{centralita}}\mathbf{\text{reciba}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{avisos}}\mathbf{\text{naranjas?}}$

Llamamos $X$ al número de avisos naranjas entre los nueve recibidos. Los avisos son independientes y cada uno es naranja con probabilidad $\mathrm{0,30}$, de modo que

$X\sim B(n,p)=B(9;\mathrm{0,3})$

$P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

$P(X=0)=\mathrm{0,0404},P(X=1)=\mathrm{0,1556},P(X=2)=\mathrm{0,2668}$

$P(X\le 2)=\mathrm{0,0404}+\mathrm{0,1556}+\mathrm{0,2668}=\mathrm{0,4628}$

La probabilidad de recibir dos o menos avisos naranjas es $\mathrm{0,4628}$, es decir, un $\mathrm{46,28}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b.2)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{avisos}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{amarillos}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{naranjas?}}$

Que todos sean amarillos o naranjas equivale a que ninguno sea rojo, y ese es un suceso mucho más cómodo de tratar. Llamamos $Y$ al número de avisos rojos.

$Y\sim B(9;\mathrm{0,1})$

$P(Y=0)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{9}{0}\right){\mathrm{0,1}}^0{\mathrm{0,9}}^9={\mathrm{0,9}}^9=\mathrm{0,3874}$

La probabilidad de que los nueve avisos sean amarillos o naranjas es $\mathrm{0,3874}$, es decir, un $\mathrm{38,74}\mathrm{\%}$.