Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2023

En el club deportivo Ares se juegan tres modalidades de raqueta: pádel, tenis y frontón-tenis. Cada socio del club solo puede apuntarse a una única modalidad. El 60 % se apuntó a pádel, el 25 % a tenis y el 15 % a frontón-tenis. En los campeonatos anuales entre clubes deportivos participaron todos los socios del club Ares, de los cuales han conseguido medalla el 21 % de los jugadores de pádel, el 30 % de los jugadores de tenis y el 12 % de los jugadores de frontón-tenis.

a) Calcule la probabilidad de que un jugador de raqueta del club, seleccionado al azar, haya obtenido una medalla. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que un jugador con medalla, seleccionado al azar, sea jugador de la modalidad tenis. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{jugador}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{raqueta}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{club,}}\mathbf{\text{seleccionado}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{medalla.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Cada socio practica una sola modalidad, de modo que las tres modalidades son sucesos incompatibles dos a dos cuyas probabilidades suman 1: forman un sistema completo de sucesos y se puede aplicar el teorema de la probabilidad total. Nombramos los sucesos:

$P\equiv$ jugar a pádel, $T\equiv$ jugar a tenis, $F\equiv$ jugar a frontón-tenis

$M\equiv$ conseguir medalla

El árbol del problema es:



$P(M)=P(P)P(M\mathrm{\mid }P)+P(T)P(M\mathrm{\mid }T)+P(F)P(M\mathrm{\mid }F)$

$P(M)=\mathrm{0,60}\cdot \mathrm{0,21}+\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,30}+\mathrm{0,15}\cdot \mathrm{0,12}$

$P(M)=\mathrm{0,126}+\mathrm{0,075}+\mathrm{0,018}=\mathrm{0,219}$

La probabilidad de que un jugador del club elegido al azar haya conseguido medalla es $\mathrm{0,219}$, es decir, un $\mathrm{21,9}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{jugador}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{medalla,}}\mathbf{\text{seleccionado}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{jugador}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{modalidad}}\mathbf{\text{tenis.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Ahora el dato conocido es el final del experimento —el jugador tiene medalla— y se pregunta por la rama del árbol que recorrió. Es una probabilidad condicionada que se calcula con el teorema de Bayes, y en el denominador aparece la probabilidad total del apartado anterior.

$P(T\mathrm{\mid }M)={\displaystyle \frac{P(T\cap M)}{P(M)}}={\displaystyle \frac{P(T)P(M\mathrm{\mid }T)}{P(M)}}$

$P(T\mathrm{\mid }M)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,30}}{\mathrm{0,219}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,075}}{\mathrm{0,219}}}={\displaystyle \frac{25}{73}}\approx \mathrm{0,3425}$

La probabilidad de que un jugador con medalla sea de la modalidad de tenis es $\frac{25}{73}\approx \mathrm{0,3425}$. Obsérvese que es bastante mayor que el $25\mathrm{\%}$ que representan los tenistas en el club: es la modalidad con mayor porcentaje de medallas.