Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

Dados dos sucesos aleatorios de los que se sabe que $P(A\mathrm{\mid }B)=2\mathrm{/}3$ y $P(B\mathrm{\mid }A)=3\mathrm{/}4$.

a) Si $A$ y $B$ fueran independientes, ¿cuánto valdría $P(A\cup B)$? [1 punto]

b) Si $P(A\cup B)=5\mathrm{/}6$, ¿cuáles son las probabilidades $P(A)$, $P(B)$ y $P(A\cup \bar{B})$? [1,5 puntos]

Dos sucesos son independientes cuando el hecho de que ocurra uno no cambia la probabilidad del otro; es decir, cuando las probabilidades condicionadas coinciden con las probabilidades iniciales. Eso convierte los dos datos del enunciado en las probabilidades de $A$ y de $B$.

$P(A)=P(A\mathrm{\mid }B)={\displaystyle \frac{2}{3}},P(B)=P(B\mathrm{\mid }A)={\displaystyle \frac{3}{4}}$

Además, para sucesos independientes la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Aplicamos ahora la probabilidad de la unión:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{8+9-6}{12}}={\displaystyle \frac{11}{12}}$

Si los sucesos fuesen independientes, la probabilidad de la unión valdría $\frac{11}{12}\approx \mathrm{0,9167}$.



Ahora no se puede suponer independencia, así que hay que volver a la definición de probabilidad condicionada. La clave es que la intersección se puede escribir de dos maneras, una con cada dato:

$P(A\cap B)=P(A\mathrm{\mid }B)\cdot P(B)={\displaystyle \frac{2}{3}}P(B)$

$P(A\cap B)=P(B\mathrm{\mid }A)\cdot P(A)={\displaystyle \frac{3}{4}}P(A)$

Igualando las dos expresiones se relacionan las dos incógnitas:

${\displaystyle \frac{2}{3}}P(B)={\displaystyle \frac{3}{4}}P(A)\Rightarrow P(B)={\displaystyle \frac{9}{8}}P(A)$

Llevamos esto a la fórmula de la unión, junto con el dato del enunciado:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)={\displaystyle \frac{5}{6}}$

$P(A)+{\displaystyle \frac{9}{8}}P(A)-{\displaystyle \frac{3}{4}}P(A)={\displaystyle \frac{5}{6}}$

${\displaystyle \frac{8+9-6}{8}}P(A)={\displaystyle \frac{5}{6}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{11}{8}}P(A)={\displaystyle \frac{5}{6}}\Rightarrow P(A)={\displaystyle \frac{5}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{8}{11}}={\displaystyle \frac{20}{33}}$

$P(B)={\displaystyle \frac{9}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{20}{33}}={\displaystyle \frac{15}{22}}$

$P(A\cap B)={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{20}{33}}={\displaystyle \frac{5}{11}}$

Las dos probabilidades están entre 0 y 1 y la intersección es menor que cada una de ellas, como debe ser. Para la última pregunta usamos las leyes de De Morgan, que convierten la unión pedida en el complementario de una intersección:

$A\cup \bar{B}=\overline{\stackrel{‾}{A}\cap B}$

$P(A\cup \bar{B})=1-P(\bar{A}\cap B)=1-[P(B)-P(A\cap B)]$

$P(A\cup \bar{B})=1-({\displaystyle \frac{15}{22}}-{\displaystyle \frac{5}{11}})=1-{\displaystyle \frac{15-10}{22}}=1-{\displaystyle \frac{5}{22}}={\displaystyle \frac{17}{22}}$

El diagrama de Venn con las cuatro zonas resume todo lo obtenido:



Las probabilidades pedidas son $P(A)=\frac{20}{33}\approx \mathrm{0,6061}$, $P(B)=\frac{15}{22}\approx \mathrm{0,6818}$ y $P(A\cup \bar{B})=\frac{17}{22}\approx \mathrm{0,7727}$.