Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2023

En cierta región, el 72 % de las mujeres vive al menos 71 años y el 52 % vive al menos 80 años. Si una mujer determinada de esa región tiene 71 años, ¿cuál es la probabilidad de que vaya a vivir al menos hasta los 80 años? [2,5 puntos]

$\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{mujer}}\mathbf{\text{determinada}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{71}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{vaya}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{vivir}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{80}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os?}}\mathbf{\text{[2,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $A$ al suceso «vivir al menos 71 años» y $B$ al suceso «vivir al menos 80 años». Los datos del enunciado son

$P(A)=\mathrm{0,72},P(B)=\mathrm{0,52}$

Lo que se pide es una probabilidad condicionada, porque de la mujer ya se sabe que ha alcanzado los 71 años:

$P(B\mathrm{\mid }A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}$

La clave está en la intersección. Quien vive al menos 80 años vive necesariamente al menos 71, de modo que $B$ está contenido en $A$ y los dos sucesos se solapan por completo:

$B\subset A\Rightarrow A\cap B=B\Rightarrow P(A\cap B)=P(B)=\mathrm{0,52}$

Sustituyendo:

$P(B\mathrm{\mid }A)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,52}}{\mathrm{0,72}}}={\displaystyle \frac{52}{72}}={\displaystyle \frac{13}{18}}\approx \mathrm{0,7222}$

La probabilidad de que una mujer de 71 años de esa región llegue a los 80 es ${\displaystyle \frac{13}{18}}\approx \mathrm{0,7222}$, es decir, un $\mathrm{72,22}\mathrm{\%}$. Nótese que sale mayor que el $52\mathrm{\%}$ de partida, porque el condicionamiento descarta a las mujeres que no llegaron a los 71 años.