Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2022

En una urna hay 4 bolas, una de ellas es blanca y las otras tres negras. Sacamos una bola al azar y sin devolverla a la urna sacamos una segunda bola también al azar.

a) Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de distinto color. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color. [1 punto]

c) Calcule la probabilidad de sacar una bola negra en la segunda extracción, si sabemos que la primera bola fue negra. [0,5 puntos]

Llamamos $B$ al suceso «sacar bola blanca» y $N$ al suceso «sacar bola negra». Como la primera bola no se devuelve, en la segunda extracción quedan tres bolas y las probabilidades cambian. El árbol del experimento es:



La rama $B$-$B$ tiene probabilidad nula, porque solo hay una bola blanca en la urna.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{bolas}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{das}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{distinto}}\mathbf{\text{color.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Hay dos caminos favorables, blanca-negra y negra-blanca, y son incompatibles, así que sus probabilidades se suman.

$P(\text{distinto color})=P(B\cap N)+P(N\cap B)={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{3}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}$

$={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

La probabilidad de que las dos bolas sean de distinto color es ${\displaystyle \frac{1}{2}}=\mathrm{0,5}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{bolas}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{das}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{color.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Es el suceso contrario del anterior, pero lo calculamos también por el árbol para comprobarlo. El único camino posible es negra-negra:

$P(\text{mismo color})=P(N\cap N)={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

que coincide, como debía, con $1-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sacar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{negra}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{extracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{sabemos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{fue}}\mathbf{\text{negra.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Es una probabilidad condicionada, y se lee directamente en la segunda rama del árbol: si la primera bola fue negra, en la urna quedan tres bolas, de las cuales dos son negras.

$P(N_2\mathrm{\mid }{N}_1)={\displaystyle \frac{2}{3}}\approx \mathrm{0,6667}$