Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2020

En un concurso de televisión el premio consiste en lanzar de forma independiente un dado cúbico y una moneda (suponemos que ambos son perfectos). Por cada punto obtenido con el dado sumamos 100 € (si sacamos un 1 ganamos 100 €, si sacamos un 2 ganamos 200 €, etc.) y si en la moneda sale «Cara» sumamos 300 € adicionales.

a) Calcule la probabilidad de ganar exactamente 400 €. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de ganar 400 € si sabemos que ha salido «Cara» en la moneda. [0,5 puntos]

c) Calcule la probabilidad de que haya salido «Cara» sabiendo que hemos ganado 400 €. [1 punto]

El dado y la moneda son independientes y ambos perfectos, así que los doce resultados posibles son equiprobables y cada uno tiene probabilidad $\frac{1}{12}$. El premio es $100$ euros por punto del dado más $300$ si sale cara, de modo que la tabla de premios es



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ganar}}\mathbf{\text{exactamente}}\mathbf{\text{400}}\mathbf{\text{€.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

En la tabla hay exactamente dos casillas con $400$: sacar un $1$ con cara y sacar un $4$ con cruz.

$P(400)=P(1\cap C)+P(4\cap X)={\displaystyle \frac{1}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{2}{12}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$

La probabilidad de ganar exactamente $400$ euros es ${\displaystyle \frac{1}{6}}\approx \mathrm{0,1667}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ganar}}\mathbf{\text{400}}\mathbf{\text{€}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{sabemos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{salido}}\mathbf{\text{«Cara»}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{moneda.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Sabiendo que salió cara, el premio es $100d+300$, y para que valga $400$ el dado debe marcar $1$.

$P(400\mathrm{\mid }C)=P(\text{dado}=1)={\displaystyle \frac{1}{6}}$

También se lee en la tabla: de las seis casillas de la fila de cara, solo una vale $400$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{salido}}\mathbf{\text{«Cara»}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hemos}}\mathbf{\text{ganado}}\mathbf{\text{400}}\mathbf{\text{€.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Es la probabilidad inversa de la anterior, así que aplicamos el teorema de Bayes.

$P(C\mathrm{\mid }400)={\displaystyle \frac{P(C)\cdot P(400\mathrm{\mid }C)}{P(400)}}={\displaystyle \frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}}{\frac{1}{6}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

La probabilidad de que haya salido cara sabiendo que se ganaron $400$ euros es ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. Se ve directamente en la tabla: de las dos casillas que dan $400$ euros, una está en la fila de cara y otra en la de cruz.