Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2020

Un tenista juega el 20 % de sus partidos en tierra batida y el resto en otras superficies. Jugando en tierra batida gana el 90 % de sus partidos, pero en otras superficies, solo consigue ganar el 40 % de los partidos.

a) Calcule la probabilidad de que gane un partido concreto, sin que sepamos en qué superficie juega. [1,25 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que haya jugado un partido concreto en tierra batida sabiendo que ha ganado dicho partido. [1,25 puntos]

Llamamos $T$ al suceso «jugar en tierra batida», $O$ al suceso «jugar en otra superficie» y $G$ al suceso «ganar el partido». Los datos del enunciado son

$P(T)=\mathrm{0,20},P(O)=\mathrm{0,80},P(G\mathrm{\mid }T)=\mathrm{0,90},P(G\mathrm{\mid }O)=\mathrm{0,40}$

El árbol del experimento es:



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{gane}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{partido}}\mathbf{\text{concreto,}}\mathbf{\text{sin}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sepamos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{juega.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Los sucesos $T$ y $O$ forman un sistema completo, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total sumando las dos ramas que acaban en $G$.

$P(G)=P(T)P(G\mathrm{\mid }T)+P(O)P(G\mathrm{\mid }O)$

$=\mathrm{0,20}\cdot \mathrm{0,90}+\mathrm{0,80}\cdot \mathrm{0,40}=\mathrm{0,18}+\mathrm{0,32}=\mathrm{0,50}$

La probabilidad de que gane un partido cualquiera es $\mathrm{0,50}$, es decir, gana la mitad de los partidos que juega.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{jugado}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{partido}}\mathbf{\text{concreto}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{tierra}}\mathbf{\text{batida}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{ganado}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{partido.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se pide la probabilidad de la causa conocido el efecto, así que aplicamos el teorema de Bayes dividiendo la rama que interesa entre el total del apartado anterior.

$P(T\mathrm{\mid }G)={\displaystyle \frac{P(T)P(G\mathrm{\mid }T)}{P(G)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,18}}{\mathrm{0,50}}}={\displaystyle \frac{9}{25}}=\mathrm{0,36}$

La probabilidad de que haya jugado en tierra batida, sabiendo que ganó, es $\mathrm{0,36}$: casi el doble del $20\mathrm{\%}$ de partida, porque es la superficie en la que más gana.