Examen de Matemáticas II de Cantabria 2020 (convocatoria extraordinaria)

Considere el sistema de ecuaciones $\{\begin{array}{l}x+(1-t)y=t\\ (1+t)x-3y=-t\end{array}$ dependiente del parámetro $t$.

a) Determine para qué valores de $t$ el sistema tiene solución única y resuélvalo en ese caso, expresando la solución en función del parámetro $t$ si es necesario. [1 punto]

b) Determine para qué valores de $t$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso. [1 punto]

c) Determine para qué valores de $t$ el sistema no tiene solución. [0,5 puntos]

Considere la función $f(x)={\displaystyle \frac{1-\cos (x)}{x}}$.

a) Calcule la derivada primera. [0,5 puntos]

b) Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x=\pi$. [0,5 puntos]

c) Calcule ${\lim }_{x\to 0}f(x)$. [1 punto]

d) Calcule las asíntotas. [0,5 puntos]

Considere los puntos $A=(2,1,5)$, $B=(3,4,1)$ y la recta $r:\{\begin{array}{l}x=3-\lambda \\ y=4-3\lambda \\ z=1-4\lambda \end{array}$

a) Se emite un rayo láser desde el punto $A$. Calcule la ecuación de la recta que contiene al rayo láser para que impacte en el punto $B$. [0,5 puntos]

b) Calcule la ecuación de una recta que pase por $B$ y sea perpendicular al rayo y a la recta $r$. [1 punto]

c) Calcule la ecuación del plano que contiene al rayo y a la recta $r$. [1 punto]

Un tenista juega el 20 % de sus partidos en tierra batida y el resto en otras superficies. Jugando en tierra batida gana el 90 % de sus partidos, pero en otras superficies, solo consigue ganar el 40 % de los partidos.

a) Calcule la probabilidad de que gane un partido concreto, sin que sepamos en qué superficie juega. [1,25 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que haya jugado un partido concreto en tierra batida sabiendo que ha ganado dicho partido. [1,25 puntos]

Considere la ecuación matricial $AX-X=B$, siendo $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& a\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ -6& 3\end{array}\right)$, en donde $a$ es un parámetro real.

a) Despeje la matriz $X$ de la ecuación anterior. [1 punto]

b) Halle los valores de $a$ para los que no es posible calcular $X$. [0,5 puntos]

c) Calcule $X$ para $a=1$. [1 punto]

Considere la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin (x)& \text{si }x\le \pi \mathrm{/}2\\ {\displaystyle \frac{2}{x}}+a& \text{si }x>\pi \mathrm{/}2\end{array}$, siendo $a$ un parámetro real.

a) Halle $a$ para que $f(x)$ sea continua. [0,5 puntos]

b) Calcule ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}f(x)$. [0,5 puntos]

c) Halle una primitiva de $f(x)$ para $x\le \pi \mathrm{/}2$. [0,5 puntos]

d) Calcule el área de la región limitada por la función $y=f(x)$, las rectas $x=0$, $x=\pi \mathrm{/}2$, y el eje $OX$ de abscisas. [1 punto]

Considere los puntos $A=(1,3,1)$, $B=(4,1,-2)$, $C=(3,5,2)$, $D=(1,1,3)$.

a) Halle la ecuación del plano, $\mathrm{\Pi }$, que contiene los puntos $A$, $B$, $C$. [1 punto]

b) Compruebe si el punto $D$ está contenido en el plano $\mathrm{\Pi }$. [0,5 puntos]

c) Calcule el ángulo que forman los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$. [1 punto]

En la Unión Europea hay aproximadamente 250 millones de hombres adultos, de los cuales 12 millones miden más de 190 cm. En Holanda hay aproximadamente 7 millones de hombres adultos, cuya altura sigue una distribución normal con media 184 cm y desviación típica 7 cm. Supongamos que elegimos un hombre adulto al azar de toda la Unión Europea.

a) Calcule la probabilidad de que mida más de 190 cm. [0,25 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que sea holandés. [0,25 puntos]

c) Calcule la probabilidad de que mida más de 190 cm sabiendo que es holandés. [1 punto]

d) Calcule la probabilidad de que sea holandés sabiendo que mide más de 190 cm. [1 punto]