Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema de ecuaciones $\{\begin{array}{l}x+(1-t)y=t\\ (1+t)x-3y=-t\end{array}$ dependiente del parámetro $t$.

a) Determine para qué valores de $t$ el sistema tiene solución única y resuélvalo en ese caso, expresando la solución en función del parámetro $t$ si es necesario. [1 punto]

b) Determine para qué valores de $t$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso. [1 punto]

c) Determine para qué valores de $t$ el sistema no tiene solución. [0,5 puntos]

Los tres apartados salen de la misma discusión, así que empezamos calculando el determinante de la matriz de coeficientes.

$M=\left(\begin{array}{cc}1& 1-t\\ 1+t& -3\end{array}\right),M^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}1& 1-t& t\\ 1+t& -3& -t\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=-3-(1-t)(1+t)=-3-(1-t^2)=t^2-4=(t-2)(t+2)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow t=\pm 2$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{t}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{resu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lvalo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{caso,}}\mathbf{\text{expresando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{t}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{necesario.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Si $t\mathrm{\ne }\pm 2$ entonces $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos por la regla de Cramer.

$x={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{cc}t& 1-t\\ -t& -3\end{array}\mid }{t^2-4}}={\displaystyle \frac{-3t+t(1-t)}{t^2-4}}={\displaystyle \frac{-t^2-2t}{t^2-4}}={\displaystyle \frac{-t(t+2)}{(t-2)(t+2)}}={\displaystyle \frac{-t}{t-2}}$

$y={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{cc}1& t\\ 1+t& -t\end{array}\mid }{t^2-4}}={\displaystyle \frac{-t-t(1+t)}{t^2-4}}={\displaystyle \frac{-t^2-2t}{t^2-4}}={\displaystyle \frac{-t}{t-2}}$

El sistema tiene solución única para todo $t\mathrm{\ne }\pm 2$, y esa solución es

$(x,y)=({\displaystyle \frac{t}{2-t}},{\displaystyle \frac{t}{2-t}})$

Las dos incógnitas salen iguales, cosa que se puede comprobar restando las dos ecuaciones del sistema.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{t}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{infinitas}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{resu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lvalo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{caso.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Solo puede ocurrir en los dos valores que anulan el determinante. Con $t=-2$:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& -2\\ -1& -3& 2\end{array}\right)$

La segunda fila es la opuesta de la primera, también en la columna de términos independientes, de modo que sobra una ecuación:

$\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=1<2=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible indeterminado. Nos quedamos con la primera ecuación y tomamos $y=\mu$ como parámetro:

$x+3y=-2\Rightarrow x=-2-3\mu$

El sistema tiene infinitas soluciones solo para $t=-2$, y son

$(x,y)=(-2-3\mu ,\mu ),\mu \in \mathbb{R}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{t}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Queda por estudiar $t=2$:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 3& -3& -2\end{array}\right)$

Las dos filas de $M$ son proporcionales, con razón $3$, pero el término independiente no la sigue, porque $3\cdot 2=6\mathrm{\ne }-2$. Por tanto

$\mathrm{ran}(M)=1\mathrm{\ne }2=\mathrm{ran}(M^{\ast })$

El sistema no tiene solución exactamente para $t=2$.