Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}ax+y+z=4\\ (a-1)x-3z=2\\ y+(a^2+a+1)z=0\end{array}$

dependiente del parámetro $a\in \mathbb{R}$. [2,5 puntos]

a) Determine los valores de $a$ para los cuales el sistema es compatible. [1,5 puntos]

b) Considere $a=-1$. Si el sistema es compatible, halle su solución general. [0,5 puntos]

c) Considere $a=2$. Si el sistema es compatible, halle su solución general. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{cuales}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{compatible.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Discutimos el sistema por el teorema de Rouché-Frobenius. Escribimos las dos matrices y empezamos por el determinante de la de coeficientes.

$M=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ a-1& 0& -3\\ 0& 1& a^2+a+1\end{array}\right),M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}a& 1& 1& 4\\ a-1& 0& -3& 2\\ 0& 1& a^2+a+1& 0\end{array}\right)$

Lo desarrollamos por la regla de Sarrus, aprovechando que $(a-1)(a^2+a+1)=a^3-1$.

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ a-1& 0& -3\\ 0& 1& a^2+a+1\end{array}\mid =0+0+(a-1)-0+3a-(a^3-1)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=a-1+3a-a^3+1=4a-a^3$

$4a-a^3=-a(a^2-4)=-a(a-2)(a+2)=0\Rightarrow a=0,a=2,a=-2$

Si $a\mathrm{\ne }0,2,-2$ entonces $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y

$\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

de modo que el sistema es compatible determinado. Estudiamos ahora los tres valores que anulan el determinante.

Para $a=0$:

$M=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ -1& 0& -3\\ 0& 1& 1\end{array}\right),\mid \begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=2$

$\mid \begin{array}{ccc}0& 1& 4\\ -1& 0& 2\\ 0& 1& 0\end{array}\mid =-1\cdot (-1{)}^{2+1}\mid \begin{array}{cc}1& 4\\ 1& 0\end{array}\mid =1\cdot (-4)=-4\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M^{\ast })=3$

Los rangos no coinciden y el sistema es incompatible. Se ve directamente en las ecuaciones: la primera y la tercera tienen los mismos coeficientes y distinto término independiente.

Para $a=2$:

$M=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 0& -3\\ 0& 1& 7\end{array}\right),\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=2$

$\mid \begin{array}{ccc}2& 1& 4\\ 1& 0& 2\\ 0& 1& 0\end{array}\mid =1\cdot (-1{)}^{3+2}\mid \begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 2\end{array}\mid =-(4-4)=0\Rightarrow \mathrm{ran}(M^{\ast })=2$

Los dos rangos valen $2<3$ y el sistema es compatible indeterminado.

Para $a=-2$:

$M=\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& 1\\ -3& 0& -3\\ 0& 1& 3\end{array}\right),\mid \begin{array}{cc}-2& 1\\ -3& 0\end{array}\mid =3\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=2$

$\mid \begin{array}{ccc}-2& 1& 4\\ -3& 0& 2\\ 0& 1& 0\end{array}\mid =1\cdot (-1{)}^{3+2}\mid \begin{array}{cc}-2& 4\\ -3& 2\end{array}\mid =-(-4+12)=-8\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M^{\ast })=3$

y el sistema vuelve a ser incompatible.

El sistema es compatible para todos los valores de $a$ salvo $a=0$ y $a=-2$: determinado si además $a\mathrm{\ne }2$ e indeterminado si $a=2$.



Como $-1$ no anula el determinante, el sistema es compatible determinado y tiene solución única. Sustituimos:

$\{\begin{array}{l}-x+y+z=4\\ -2x-3z=2\\ y+z=0\end{array}$

De la tercera ecuación, $y=-z$, y llevándolo a la primera se cancelan las dos incógnitas.

$-x-z+z=4\Rightarrow x=-4$

$-2(-4)-3z=2\Rightarrow 8-3z=2\Rightarrow z=2$

$y=-2$

La solución para $a=-1$ es única: $(x,y,z)=(-4,-2,2)$.



Por el apartado a), para $a=2$ el sistema es compatible indeterminado con rango $2$: sobra una ecuación y queda un parámetro libre. El sistema es

$\{\begin{array}{l}2x+y+z=4\\ x-3z=2\\ y+7z=0\end{array}$

Nos quedamos con las dos últimas ecuaciones, que son las del menor de orden dos no nulo, y tomamos $z$ como parámetro.

$z=\lambda ,\lambda \in \mathbb{R}$

$x=2+3\lambda ,y=-7\lambda$

Comprobamos que la primera ecuación, la que hemos descartado, se cumple sola:

$2(2+3\lambda )-7\lambda +\lambda =4+6\lambda -7\lambda +\lambda =4$

La solución general para $a=2$ es

$\{\begin{array}{l}x=2+3\lambda \\ y=-7\lambda \\ z=\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$