Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado $a\in \mathbb{R}$, se considera el sistema de ecuaciones siguiente:

$\{\begin{array}{l}-x+2y=-1\\ -x+2y+2z=1\\ ax-2y+z=2\end{array}$

a) Discuta el sistema según los valores de $a$. [1 punto]

b) Estudie si es posible encontrar un valor de $a$ para el cual la solución del sistema verifique que $x=0$. [0,75 puntos]

c) Si $a=0$, resuelva el sistema si es posible. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, así que empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes, que desarrollamos por la primera fila.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}-1& 2& 0\\ -1& 2& 2\\ a& -2& 1\end{array}\mid =-1\mid \begin{array}{cc}2& 2\\ -2& 1\end{array}\mid -2\mid \begin{array}{cc}-1& 2\\ a& 1\end{array}\mid$

$=-1(2+4)-2(-1-2a)=-6+2+4a=4a-4=4(a-1)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a=1$

Si $a\mathrm{\ne }1$:

$\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}\Rightarrow \text{sistema compatible determinado}$

Si $a=1$, el determinante se anula. En la matriz de coeficientes queda un menor de orden 2 no nulo:

$\mid \begin{array}{cc}-1& 0\\ -1& 2\end{array}\mid =-2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=2$

Orlamos ese menor en la ampliada con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}-1& 0& -1\\ -1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\mid =-1(4-1)-0+(-1)(-1-2)=-3+3=0$

$\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3\Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado}$

El sistema es compatible determinado salvo para $a=1$, en cuyo caso es compatible indeterminado con un grado de libertad.



Conviene resolver el sistema dejando el parámetro sin fijar. Restando la primera ecuación de la segunda desaparecen $x$ e $y$:

$(-x+2y+2z)-(-x+2y)=1-(-1)\Rightarrow 2z=2\Rightarrow z=1$

Llevamos ese valor a la tercera ecuación y la sumamos a la primera:

$ax-2y+1=2\Rightarrow ax-2y=1$

$(-x+2y)+(ax-2y)=-1+1\Rightarrow (a-1)x=0$

Aquí está la clave: el producto $(a-1)x$ es cero, de modo que o bien $a=1$, o bien $x=0$.

Si $a\mathrm{\ne }1$, necesariamente $x=0$, y entonces $2y=-1$, es decir, $y=-\frac{1}{2}$.

$(x,y,z)=(0,-{\displaystyle \frac{1}{2}},1)$

Sí es posible, y de hecho ocurre para todo $a\mathrm{\ne }1$: la solución única del sistema es siempre $(0,-\frac{1}{2},1)$, que ya cumple $x=0$. Para $a=1$ el sistema tiene infinitas soluciones y una de ellas es también esa.



Como $a=0\mathrm{\ne }1$, el sistema es compatible determinado y su solución es la obtenida en el apartado anterior.

$\{\begin{array}{l}-x+2y=-1\\ -x+2y+2z=1\\ -2y+z=2\end{array}$

$z=1,-2y+1=2\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{1}{2}},-x-1=-1\Rightarrow x=0$

La solución para $a=0$ es $(0,-\frac{1}{2},1)$.