Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvalo en los casos en que sea compatible indeterminado:

$\{\begin{array}{l}(a^2-4)x+(a+2)y+2z=4\\ (4-a^2)x+z=2\\ (a^2-4)x+(a+2)y+az=-4\end{array}$

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso.

El resultado teórico que se emplea es el teorema de Rouché-Frobenius: un sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada, y en ese caso es determinado cuando ese rango común iguala al número de incógnitas e indeterminado cuando es menor. Como el sistema tiene tantas ecuaciones como incógnitas, empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes.

$M=\left(\begin{array}{ccc}{a}^2-4& a+2& 2\\ 4-a^2& 0& 1\\ a^2-4& a+2& a\end{array}\right)M^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{cccc}{a}^2-4& a+2& 2& 4\\ 4-a^2& 0& 1& 2\\ a^2-4& a+2& a& -4\end{array}\right)$

Restando la primera fila a la tercera, que no altera el determinante:

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}{a}^2-4& a+2& 2\\ 4-a^2& 0& 1\\ 0& 0& a-2\end{array}\mid =(a-2)\mid \begin{array}{cc}{a}^2-4& a+2\\ 4-a^2& 0\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=(a-2)[0-(a+2)(4-a^2)]=(a-2)(a+2)(a^2-4)=(a-2{)}^2(a+2{)}^2$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow (a-2{)}^2(a+2{)}^2=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=2\\ a=-2\end{array}$

Discutimos los tres casos.

Si $a\mathrm{\ne }2$ y $a\mathrm{\ne }-2$, entonces $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=3=\text{nº de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$: el sistema es compatible determinado.

Si $a=2$, el sistema queda

$\{\begin{array}{l}4y+2z=4\\ z=2\\ 4y+2z=-4\end{array}$

Las ecuaciones primera y tercera tienen el mismo primer miembro y distinto término independiente, luego el sistema es incompatible. En términos de rangos, $\mathrm{ran}(M)=2$ mientras que en $M^{\mathrm{\prime }}$ el menor

$\mid \begin{array}{ccc}4& 2& 4\\ 0& 1& 2\\ 4& 2& -4\end{array}\mid =-32\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=3$

y al ser $\mathrm{ran}(M)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})$ el sistema es incompatible.

Si $a=-2$, se anulan $a^2-4$ y $a+2$ a la vez y el sistema se reduce a

$\{\begin{array}{l}2z=4\\ z=2\\ -2z=-4\end{array}$

Las tres ecuaciones dicen lo mismo, de modo que $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=1<3=\text{nº de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$ y el sistema es compatible indeterminado, con dos grados de libertad. Su solución es

$\{\begin{array}{l}x=\lambda \\ y=\mu \\ z=2\end{array}\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$

El sistema es compatible determinado para todo $a\mathrm{\ne }\pm 2$, incompatible para $a=2$ y compatible indeterminado para $a=-2$, único caso en que hay que resolverlo: todos los puntos del plano $z=2$ son solución.