Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $m$ y resuélvalo en los casos en que sea compatible:

$\{\begin{array}{l}(m^2-3m)x-my+2mz=3\\ (m^2-3m)x+3y+3mz=m+9\\ (3m-m^2)x+my-mz=0\end{array}$

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

El resultado teórico que se emplea es el teorema de Rouché-Frobenius: el sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada, y es determinado cuando ese rango común es igual al número de incógnitas e indeterminado cuando es menor. Como hay tantas ecuaciones como incógnitas, empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes.

$M=\left(\begin{array}{ccc}{m}^2-3m& -m& 2m\\ m^2-3m& 3& 3m\\ 3m-m^2& m& -m\end{array}\right)$

Sumando la primera fila a la tercera, que no altera el determinante, se anula la primera columna de esta:

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}{m}^2-3m& -m& 2m\\ m^2-3m& 3& 3m\\ 0& 0& m\end{array}\mid =m\mid \begin{array}{cc}{m}^2-3m& -m\\ m^2-3m& 3\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=m[3(m^2-3m)+m(m^2-3m)]=m(m^2-3m)(m+3)=m^2(m-3)(m+3)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow m^2(m-3)(m+3)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}m=0\\ m=3\\ m=-3\end{array}$

Si $m\mathrm{\ne }0,3,-3$, entonces $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=3=\text{nº de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$: el sistema es compatible determinado. Resolviéndolo se obtiene

$x={\displaystyle \frac{1}{m}},y=1,z={\displaystyle \frac{3}{m}}$

Si $m=0$, el sistema queda

$\{\begin{array}{l}0=3\\ 3y=9\\ 0=0\end{array}$

La primera ecuación es imposible, luego el sistema es incompatible. En términos de rangos, $\mathrm{ran}(M)=1$ y $\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=2$.

Si $m=3$, se anula $m^2-3m$ y desaparece la incógnita $x$:

$\{\begin{array}{l}-3y+6z=3\\ 3y+9z=12\\ 3y-3z=0\end{array}$

De la tercera, $y=z$; llevándolo a la primera, $-3z+6z=3\Rightarrow z=1$, y también $y=1$, valores que cumplen la segunda. Es un sistema compatible indeterminado, porque $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=2<3$, y su solución es

$\{\begin{array}{l}x=\lambda \\ y=1\\ z=1\end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

Si $m=-3$, el sistema es

$\{\begin{array}{l}18x+3y-6z=3\\ 18x+3y-9z=6\\ -18x-3y+3z=0\end{array}$

Restando la primera de la segunda, $-3z=3\Rightarrow z=-1$, y sustituyendo en la primera, $18x+3y=-3\Rightarrow 6x+y=-1$. La tercera es entonces consecuencia de las anteriores. De nuevo $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=2<3$ y el sistema es compatible indeterminado:

$\{\begin{array}{l}x=-{\displaystyle \frac{1+\lambda }{6}}\\ y=\lambda \\ z=-1\end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

En resumen: el sistema es compatible determinado para todo $m\mathrm{\ne }0,\pm 3$, con solución $(\frac{1}{m},1,\frac{3}{m})$; es incompatible para $m=0$; y es compatible indeterminado, con un grado de libertad, para $m=3$ y para $m=-3$.