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Examen de Matemáticas II de Navarra 2025 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Navarra, convocatoria ordinaria de 2025. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Optimización

Para la realización de un trabajo se precisan de 80 horas haciendo uso de una sola máquina. Cada máquina en funcionamiento genera unos gastos de 10 euros por puesta en marcha y de otros 5 euros por cada hora de uso. Sabiendo además que por cada hora que dure el trabajo hay que pagar 18 euros a un único operario que supervisa la tarea, calcule el número de máquinas a usar para que el gasto sea mínimo. Justifique su condición de mínimo. (Observación: el tiempo necesario para realizar el trabajo es inversamente proporcional al número de máquinas empleadas). [2,5 puntos]

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Ejercicio 2: Integrales y Áreas

Siendo

p (t) = 0,15 + \sin^{2} (\frac{π}{2} \cdot t) \cdot \cos (\frac{π}{2} \cdot t)

el precio del kilowatio/hora de la luz doméstica entre los instantes

t_{0} = 0

t_{1} = 1

:

a) Calcule los instantes en los que el precio ha sido máximo y en los que ha sido mínimo. [1,25 puntos]

b) Calcule el precio medio

\overline{p}

de la luz entre los instantes

t_{0} = 0

t_{1} = 1

, sabiendo que el valor medio de una función continua

f

en el intervalo

[a, b] (a < b)

es:

\overline{f} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

. [1,25 puntos]

Observación: Recuerde la necesidad de trabajar en radianes.

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Sistemas de ecuaciones

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real

m

y resuélvalo en los casos en que sea compatible:

{\begin{cases} (m^{2} - 3 m) x - m y + 2 m z = 3 \\ (m^{2} - 3 m) x + 3 y + 3 m z = m + 9 \\ (3 m - m^{2}) x + m y - m z = 0 \end{cases}

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Matrices

Sean

A

B

dos matrices cuadradas

3 \times 3

tales que

∣ A ∣ = \frac{1}{4}

∣ B ∣ = 2

. Calcule

∣ C ∣

sabiendo que

C = 2 \cdot (A \cdot B^{t})^{2} \cdot (B^{t})^{- 1}

[2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Rectas y Planos

Calcule la ecuación continua de la recta

t

que pasa por el punto

P (2, 0, - 1)

y corta a las siguientes rectas: [2,5 puntos]

s \equiv {\begin{cases} 2 x + y - 3 z - 6 = 0 \\ 2 x - 3 z - 8 = 0 \end{cases}

;

r \equiv \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{1}

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Rectas y Planos

Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos

A (1, 0, - 1)

B (1, 4, 2)

y los otros dos vértices están contenidos en la recta que pasa por el punto

P (6, - 4, - 4)

.

a) Calcule la ecuación de dicha recta. [0,5 puntos]

b) Calcule la ecuación del plano perpendicular al segmento

\overline{A B}

que pasa por

A

. [0,75 puntos]

c) Calcule los otros dos vértices del cuadrado. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Derivadas

Sea

f (x) = \cos (\frac{π}{2} \cdot x) \cdot \ln (x^{2} + x - 5)

.

a) Demuestre que

f

es continua en

[2, 3]

. [0,75 puntos]

b) Demuestre que existe un punto

c

(2, 3)

tal que

f^{'} (c) = 0

. Enuncie el resultado teórico utilizado, y justifique su uso. [1,75 puntos]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Funciones

Se considera la función

f (x) = \frac{3 x^{3}}{x^{2} - 4}

. Estudie sus asíntotas y simetrías.

Estudie la aproximación de la función a sus asíntotas verticales. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 8