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Examen de Matemáticas II de Navarra 2021 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Navarra, convocatoria ordinaria de 2021. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real

a

y resuélvalo en los casos en que es compatible:

{\begin{cases} (a - 1) x - y = 3 \\ (a - 1) x + (a + 1) y - (2 - a) z = - 2 a \\ (- 2 a + 2) x - a y + (a^{2} - a - 2) z = 3 a - 1 \end{cases}

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

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Ejercicio 2: Matrices

Calcule los valores del parámetro

t

para que se cumpla la condición

∣ A^{3} ∣ = 8

, siendo

A

la siguiente matriz:

A = (\begin{array}{ccc} ℓ - 1 & ℓ + 1 & 3 \\ t^{2} - t & t^{2} + 2 t & t \\ 1 - ℓ & - 1 - ℓ & - 2 \end{array})

[2,5 puntos]

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Ejercicio 3: Rectas y Planos

Encuentre la ecuación general del plano

π

que es paralelo a las rectas

r \equiv {\begin{cases} x + 2 y + z + 3 = 0 \\ x + 6 y - z - 7 = 0 \end{cases}

s \equiv \frac{x - 3}{3} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z + 2}{1}

y equidista de ambas. [2,5 puntos]

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Ejercicio 4: Rectas y Planos

Un lado de un paralelogramo está sobre la recta

r \equiv \frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 1}{2}

. Otro lado lo determinan los puntos

A (- 1, - 2, 3)

B (2, - 2, - 1)

. Calcule los otros dos vértices del paralelogramo sabiendo que su perímetro mide

16 u

. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Límites y continuidad

Sea la función

f (x) = (x^{2} - 3 x + 10)^{\log [2^{x - 1} \cdot \sin \frac{π (x + 2)}{6}]}

.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo

[1, 3]

. [1,25 puntos]

b) Demuestre que existe

α \in (1, 3)

tal que

f (α) = \frac{3}{2}

. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Funciones

Calcule las asíntotas de esta función y estudie la posición de la curva respecto a ellas:

f (x) = \frac{x^{3} - 4 x - 1}{x^{2} - 4}

[2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Derivadas

Sea la función

f (x) = \ln (\frac{5 x - 2 - x \sin \frac{π x}{2}}{x^{2} - 4 x + 6})

.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo

[1, 3]

. [1 punto]

b) Demuestre que existe

α \in (1, 3)

tal que

f^{'} (α) = \frac{3}{2} \ln 2

. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [1,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Integrales y Áreas

Calcule los valores de las abscisas

a

b

que aparecen en el gráfico, y, después, compruebe que las áreas de las dos regiones sombreadas son iguales:

Figura del ejercicio

Ver la solución del ejercicio 8