Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Un lado de un paralelogramo está sobre la recta $r\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{-2}}={\displaystyle \frac{y+1}{-1}}={\displaystyle \frac{z-1}{2}}$. Otro lado lo determinan los puntos $A(-1,-2,3)$ y $B(2,-2,-1)$. Calcule los otros dos vértices del paralelogramo sabiendo que su perímetro mide $16u$. [2,5 puntos]

De la recta leemos un punto y un director:

$r:\{R(1,-1,1),{\vec{v}}_r=(-2,-1,2)\}\mid {\vec{v}}_r\mid =\sqrt{4+1+4}=3$

y del lado conocido,

$\overrightarrow{AB}=(2,-2,-1)-(-1,-2,3)=(3,0,-4)\mid \overrightarrow{AB}\mid =\sqrt{9+16}=5$

Lo primero es ver cuál de los dos puntos dados está sobre $r$, porque los dos lados han de compartir un vértice. Un punto genérico de $r$ es $(1-2\lambda ,-1-\lambda ,1+2\lambda )$, y con $\lambda =1$ se obtiene $(-1,-2,3)=A$. Es decir, $A$ es el vértice común: el lado $\overline{AB}$ y el lado que va sobre $r$ concurren en él.



Llamamos $D$ al otro extremo del lado que está sobre $r$ y $C$ al cuarto vértice. Del perímetro sacamos la longitud de ese lado:

$2(\mid \overrightarrow{AB}\mid +\mid \overrightarrow{AD}\mid )=16\Rightarrow 5+\mid \overrightarrow{AD}\mid =8\Rightarrow \mid \overrightarrow{AD}\mid =3$

Como $\mid {\vec{v}}_r\mid =3$, avanzar 3 unidades desde $A$ sobre $r$ es sumar o restar el propio director:

$D=A\pm {\vec{v}}_r=(-1,-2,3)\pm (-2,-1,2)$

$D_1(-3,-3,5)D_2(1,-1,1)$

El cuarto vértice se obtiene trasladando $B$ según ese mismo lado, ya que en un paralelogramo $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$:

$C_1=B+\overrightarrow{A{D}_1}=(2,-2,-1)+(-2,-1,2)=(0,-3,1)$

$C_2=B+\overrightarrow{A{D}_2}=(2,-2,-1)+(2,1,-2)=(4,-1,-3)$

Los dos casos cumplen las condiciones —en los dos, $\mid \overrightarrow{AD}\mid =\mid \overrightarrow{BC}\mid =3$ y el perímetro vale $2(5+3)=16$—, y son simétricos respecto de $A$: el lado puede tomarse en los dos sentidos de la recta. Obsérvese que $D_2$ es justamente el punto $R$ que habíamos leído en la ecuación de $r$.

Hay, por tanto, dos paralelogramos posibles: uno con vértices $D_1(-3,-3,5)$ y $C_1(0,-3,1)$, y otro con $D_2(1,-1,1)$ y $C_2(4,-1,-3)$.