Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Calcule la ecuación continua de una recta $r$ sabiendo que corta a la recta $s\equiv \{\begin{array}{l}3x+y-z-7=0\\ x+y-5=0\end{array}$, es paralela al plano de ecuación $\pi \equiv 2x-y+3z-6=0$ y pasa por el punto $P\equiv (-1,3,1)$. [2,5 puntos]

La recta buscada pasa por $P$ y es paralela a $\pi$, luego está contenida en el plano $\sigma$ que pasa por $P$ y es paralelo a $\pi$; y como corta a $s$, lo hace justo donde $s$ atraviesa ese plano.

i) Plano $\sigma$. Comparte la normal de $\pi$, $\vec{n}=(2,-1,3)$, y pasa por $P(-1,3,1)$:

$\sigma :2(x+1)-(y-3)+3(z-1)=0\Rightarrow \sigma :2x-y+3z+2=0$

Conviene comprobar que $P$ no está en $\pi$, para que la recta sea paralela y no esté contenida en él:

$2(-1)-3+3(1)-6=-8\mathrm{\ne }0\Rightarrow P\mathrm{\notin }\pi$



ii) Escribimos $s$ en paramétricas. Su director es el producto vectorial de las normales de los dos planos que la definen:

${\vec{v}}_s=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 3& 1& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\mid =(1,-1,2)$

y un punto se obtiene con $z=0$:

$\{\begin{array}{l}3x+y-7=0\\ x+y-5=0\end{array}\Rightarrow 2x=2\Rightarrow x=1,y=4$

$s\equiv (1+\lambda ,4-\lambda ,2\lambda )$

iii) Cortamos $s$ con $\sigma$:

$2(1+\lambda )-(4-\lambda )+3(2\lambda )+2=0\Rightarrow 2+2\lambda -4+\lambda +6\lambda +2=0\Rightarrow 9\lambda =0\Rightarrow \lambda =0$

$\lambda =0\Rightarrow Q(1,4,0)$

iv) La recta es la que une $P$ con $Q$:

${\vec{v}}_r=\overrightarrow{PQ}=(1,4,0)-(-1,3,1)=(2,1,-1)$

Comprobamos el paralelismo con $\pi$:

$\overrightarrow{PQ}\cdot \vec{n}=(2)(2)+(1)(-1)+(-1)(3)=4-1-3=0$

$r\equiv {\displaystyle \frac{x+1}{2}}={\displaystyle \frac{y-3}{1}}={\displaystyle \frac{z-1}{-1}}$

La recta pedida es $r\equiv {\displaystyle \frac{x+1}{2}}={\displaystyle \frac{y-3}{1}}={\displaystyle \frac{z-1}{-1}}$, que corta a $s$ en $Q(1,4,0)$ y es paralela al plano $\pi$.