Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

Los puntos $A(1,1,1)$ y $B(0,2,0)$ son vértices consecutivos del paralelogramo $ABCD$. El centro del paralelogramo es $E(0,0,1)$.

a) Calcular las coordenadas de los otros vértices. [1 punto]

b) Hallar la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo. [1 punto]

c) Hallar el volumen del tetraedro formado por los vértices $ABEO$, siendo $O(0,0,0)$ el origen de coordenadas. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{coordenadas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{otros}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

En todo paralelogramo las diagonales se cortan en su punto medio, y ese punto de corte es el centro. Como $A$ y $B$ son vértices consecutivos, las diagonales del paralelogramo $ABCD$ son $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$, y $E$ es el punto medio de las dos.



$E={\displaystyle \frac{A+C}{2}}\Rightarrow C=2E-A=(0,0,2)-(1,1,1)=(-1,-1,1)$

$E={\displaystyle \frac{B+D}{2}}\Rightarrow D=2E-B=(0,0,2)-(0,2,0)=(0,-2,2)$

Comprobamos que efectivamente es un paralelogramo, viendo que los lados opuestos son vectores iguales:

$\overrightarrow{AB}=(-1,1,-1)=\overrightarrow{DC}=(-1,-1,1)-(0,-2,2)$

Los vértices que faltan son $C(-1,-1,1)$ y $D(0,-2,2)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{general}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{paralelogramo.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El plano queda determinado por el punto $A$ y dos de los lados que concurren en él, que son vectores linealmente independientes.

$\overrightarrow{AB}=(-1,1,-1)\overrightarrow{AD}=(0,-2,2)-(1,1,1)=(-1,-3,1)$

Un vector normal es el producto vectorial de ambos:

$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& 1& -1\\ -1& -3& 1\end{array}\mid =(-2,2,4)$

Podemos simplificarlo dividiendo entre $-2$, ya que solo importa su dirección: $\vec{n}=(1,-1,-2)$.

$\pi \equiv x-y-2z+D=0$

Imponemos que pase por $A(1,1,1)$:

$1-1-2+D=0\Rightarrow D=2$

$\pi \equiv x-y-2z+2=0$

Se comprueba que los otros tres vértices y el centro lo cumplen: $B$ da $0-2-0+2=0$, $C$ da $-1+1-2+2=0$ y $D$ da $0+2-4+2=0$.



El volumen de un tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de tres aristas que concurran en un vértice. Tomamos como vértice el origen.

$\overrightarrow{OA}=(1,1,1)\overrightarrow{OB}=(0,2,0)\overrightarrow{OE}=(0,0,1)$

$[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OE}]=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\mid =1\cdot (2\cdot 1-0)=2$

$V={\displaystyle \frac{1}{6}}\mid 2\mid ={\displaystyle \frac{1}{3}}$

El producto mixto no es nulo, lo que confirma que el origen no está en el plano del paralelogramo y que el tetraedro no es degenerado.

El volumen del tetraedro $ABEO$ es ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ unidades de volumen.