Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Sean el plano $\pi \equiv x+y-z=2$ y la recta $r\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{-3}}={\displaystyle \frac{y}{2}}={\displaystyle \frac{z-2}{-1}}$.

a) Calcular la ecuación de un plano ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$ paralelo al plano $\pi$ y que esté a una distancia de $2\sqrt{3}$ unidades de la recta $r$. ¿Es único ese plano? Justificar la respuesta. [1,5 puntos]

b) Calcular la ecuación de un plano ${\pi }^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ perpendicular al plano $\pi$ y que pasa por los puntos $P(1,0,1)$ y $Q(0,1,0)$. [1 punto]

Para que la distancia de una recta a un plano tenga sentido —es decir, para que sea la misma desde todos sus puntos— la recta ha de ser paralela al plano. Lo comprobamos antes de nada.

${\vec{n}}_{\pi }=(1,1,-1){\vec{v}}_r=(-3,2,-1)A_r(1,0,2)$

${\vec{n}}_{\pi }\cdot {\vec{v}}_r=-3+2+1=0$

$1+0-2=-1\mathrm{\ne }2\Rightarrow A_r\mathrm{\notin }\pi$

La recta es paralela a $\pi$ y no está contenida en él. Como ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$ es paralelo a $\pi$, también será paralelo a $r$ y su distancia a la recta será la distancia de cualquier punto de esta al plano; tomamos $A_r$.

${\pi }^{\mathrm{\prime }}\equiv x+y-z=D$

$d(r,{\pi }^{\mathrm{\prime }})=d(A_r,{\pi }^{\mathrm{\prime }})={\displaystyle \frac{\mid 1+0-2-D\mid }{\sqrt{1^2+1^2+(-1{)}^2}}}={\displaystyle \frac{\mid -1-D\mid }{\sqrt{3}}}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1+D\mathrm{\mid }}{\sqrt{3}}}=2\sqrt{3}\Rightarrow \mathrm{\mid }1+D\mathrm{\mid }=2\cdot 3=6$

El valor absoluto da dos posibilidades:

$1+D=6\Rightarrow D=51+D=-6\Rightarrow D=-7$

${\pi }_1^{\mathrm{\prime }}\equiv x+y-z=5{\pi }_2^{\mathrm{\prime }}\equiv x+y-z=-7$



El plano no es único: hay dos, uno a cada lado de la recta, y era de esperar, porque la condición de distancia no dice hacia qué lado hay que separarse.



El plano pedido contiene la dirección $\overrightarrow{PQ}$ y, por ser perpendicular a $\pi$, contiene también la dirección de ${\vec{n}}_{\pi }$. Su normal es el producto vectorial de las dos.

$\overrightarrow{PQ}=(0,1,0)-(1,0,1)=(-1,1,-1)$

${\vec{n}}_{{\pi }^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}=\overrightarrow{PQ}\times {\vec{n}}_{\pi }=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& 1& -1\\ 1& 1& -1\end{array}\mid =(0,-2,-2)$

Dividiendo entre $-2$ nos quedamos con ${\vec{n}}_{{\pi }^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}=(0,1,1)$.

${\pi }^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\equiv y+z+D=0$

Imponemos que pase por $P(1,0,1)$:

$0+1+D=0\Rightarrow D=-1$

${\pi }^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\equiv y+z-1=0$

Se comprueba que $Q(0,1,0)$ también lo cumple, $1+0-1=0$, y que es perpendicular a $\pi$, porque $(0,1,1)\cdot (1,1,-1)=0+1-1=0$.