Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Dados el plano $\pi \equiv x+2y-2z=0$ y la recta $r\equiv {\displaystyle \frac{x}{-2}}={\displaystyle \frac{y-4}{2}}={\displaystyle \frac{z-1}{1}}$, se pide:

a) Comprobar que $r$ es paralela a $\pi$. [1 punto]

b) Hallar el plano $\sigma$, distinto de $\pi$ y paralelo a $\pi$, cuya distancia a $r$ coincide con la de $\pi$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Comprobar}}\mathbf{\text{que}}\mathit{r}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{paralela}}\mathbf{\text{a}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Una recta es paralela a un plano cuando su vector director es perpendicular al normal del plano y, además, ningún punto de la recta pertenece al plano.

${\vec{n}}_{\pi }=(1,2,-2){\vec{v}}_r=(-2,2,1)A(0,4,1)\in r$

${\vec{n}}_{\pi }\cdot {\vec{v}}_r=-2+4-2=0$

Falta descartar que la recta esté contenida en el plano, y para eso basta con un punto:

$A(0,4,1):0+2\cdot 4-2\cdot 1=6\mathrm{\ne }0\Rightarrow A\mathrm{\notin }\pi$

La recta $r$ es, por tanto, paralela al plano $\pi$ y no está contenida en él.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\sigma }\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{distinto}}\mathbf{\text{de}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{paralelo}}\mathbf{\text{a}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{cuya}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{a}}\mathit{r}\mathbf{\text{coincide}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{de}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Al ser $r$ paralela a $\pi$, su distancia al plano es la de cualquiera de sus puntos; usamos $A$.

$d(r,\pi )=d(A,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }0+8-2\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}}}={\displaystyle \frac{6}{3}}=2$

Los planos paralelos a $\pi$ comparten su vector normal y solo se distinguen en el término independiente:

$\sigma \equiv x+2y-2z=D$

Imponemos que $A$ diste de $\sigma$ lo mismo que de $\pi$:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }6-D\mathrm{\mid }}{3}}=2\Rightarrow \mathrm{\mid }6-D\mathrm{\mid }=6$

$6-D=6\Rightarrow D=06-D=-6\Rightarrow D=12$

La primera solución es el propio plano $\pi$, que el enunciado excluye, así que nos quedamos con la otra.

$\sigma \equiv x+2y-2z=12$



El plano pedido es $\sigma \equiv x+2y-2z=12$: es el simétrico de $\pi$ respecto de la recta, que queda justo a la mitad de camino entre ambos.