Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Dadas las rectas $r_1\equiv \{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2t\\ z=-1+t\end{array},t\in \mathbb{R}$ y $r_2\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{3}}={\displaystyle \frac{y}{2}}={\displaystyle \frac{z}{2}}$.

a) Razonar si existe un plano perpendicular a $r_2$ que contenga a $r_1$. [1 punto]

b) Calcular la recta con vector director perpendicular a los de las rectas $r_1$ y $r_2$ y que contiene al punto $(1,0,0)$. [1 punto]

Un plano perpendicular a $r_2$ tiene por vector normal el director de esa recta. Para que además contenga a $r_1$, la dirección de $r_1$ tendría que ser perpendicular a esa normal.

${\vec{v}}_1=(1,2,1){\vec{v}}_2=(3,2,2)$

${\vec{v}}_1\cdot {\vec{v}}_2=3+4+2=9\mathrm{\ne }0$

El producto escalar no se anula, luego ${\vec{v}}_1$ no es perpendicular a ${\vec{v}}_2$ y ningún plano de normal ${\vec{v}}_2$ puede contener a $r_1$.

No existe, por tanto, ningún plano perpendicular a $r_2$ que contenga a $r_1$.



Un vector perpendicular a los dos directores a la vez es su producto vectorial.

$\vec{w}={\vec{v}}_1\times {\vec{v}}_2=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 2& 1\\ 3& 2& 2\end{array}\mid =(2,1,-4)$

Se comprueba con los dos productos escalares: $\vec{w}\cdot {\vec{v}}_1=2+2-4=0$ y $\vec{w}\cdot {\vec{v}}_2=6+2-8=0$.

Con ese director y el punto dado, la recta es

$s\equiv \{\begin{array}{l}x=1+2\lambda \\ y=\lambda \\ z=-4\lambda \end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

o, en forma continua, ${\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y}{1}}={\displaystyle \frac{z}{-4}}$.