Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

a) Encuéntrense las ecuaciones de la recta que está contenida en el plano $\alpha \equiv x-y=0$, es paralela al plano $\beta \equiv 2x-3y+z=4$ y pasa por el punto $P=(1,1,3)$. [1 punto]

b) Hállese la ecuación del plano que es paralelo a $r\equiv x-1=y+2={\displaystyle \frac{z-1}{2}}$ y pasa por los puntos $A=(0,3,1)$ y $B=(-2,1,-1)$. [1 punto]

Estar contenida en $\alpha$ y ser paralela a $\beta$ obliga, en los dos casos, a que el director sea perpendicular al vector normal correspondiente. Un vector con esa doble propiedad es el producto vectorial de las dos normales.

${\vec{n}}_{\alpha }=(1,-1,0){\vec{n}}_{\beta }=(2,-3,1)$

$\vec{v}={\vec{n}}_{\alpha }\times {\vec{n}}_{\beta }=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -1& 0\\ 2& -3& 1\end{array}\mid =(-1,-1,-1)$

Cambiando el signo tomamos $\vec{v}=(1,1,1)$. Comprobamos antes que $P$ pertenece a $\alpha$, como exige el enunciado: $1-1=0$.

$r\equiv \{\begin{array}{l}x=1+\lambda \\ y=1+\lambda \\ z=3+\lambda \end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

Se comprueba que está en $\alpha$, porque $x-y=(1+\lambda )-(1+\lambda )=0$, y que es paralela a $\beta$ sin estar contenida en él, porque $(1,1,1)\cdot (2,-3,1)=0$ y sin embargo $2-3+3=2\mathrm{\ne }4$.



El plano contiene la dirección $\overrightarrow{AB}$ y, por ser paralelo a la recta, también la de su vector director.

$\overrightarrow{AB}=(-2,1,-1)-(0,3,1)=(-2,-2,-2)$

Podemos simplificarlo a $(1,1,1)$, que lleva la misma dirección.

${\vec{v}}_r=(1,1,2)$

$\vec{n}=(1,1,1)\times (1,1,2)=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\mid =(1,-1,0)$

$\pi \equiv x-y+D=0$

Imponemos que pase por $A(0,3,1)$:

$0-3+D=0\Rightarrow D=3$

$\pi \equiv x-y+3=0$



Se comprueba que pasa por $B$, ya que $-2-1+3=0$, y que el paralelismo con $r$ es estricto: $(1,-1,0)\cdot (1,1,2)=0$, pero el punto $(1,-2,1)$ de la recta da $1+2+3=6\mathrm{\ne }0$, luego $r$ no está contenida en el plano.