Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Dados el punto $A(1,2,4)$ y la recta $r\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y-1}{1}}={\displaystyle \frac{z-1}{2}}$:

a) Hallar un punto $B$ de la recta $r$ de forma que el vector $\overrightarrow{AB}$ sea paralelo al plano $\pi \equiv x+2z=0$. [1,5 puntos]

b) Hallar un vector $(a,b,c)$ perpendicular a $(1,0,-1)$ y a $(2,1,0)$. [0,5 puntos]

Escribimos la recta en paramétricas para tener un punto genérico $B$ dependiente de un parámetro, e imponemos después la condición de paralelismo.

$r\equiv (1+2t,1+t,1+2t)$

$\overrightarrow{AB}=(1+2t,1+t,1+2t)-(1,2,4)=(2t,t-1,2t-3)$

Un vector es paralelo a un plano cuando es perpendicular a su vector normal, es decir, cuando el producto escalar se anula.

${\vec{n}}_{\pi }=(1,0,2)$

$\overrightarrow{AB}\cdot {\vec{n}}_{\pi }=2t+0+2(2t-3)=6t-6$

$6t-6=0\Rightarrow t=1$

$B=(1+2,1+1,1+2)=(3,2,3)$

Comprobamos el resultado: $\overrightarrow{AB}=(2,0,-1)$ y $(2,0,-1)\cdot (1,0,2)=2+0-2=0$.

El punto pedido es $B(3,2,3)$.



El producto vectorial de dos vectores no paralelos es, por definición, perpendicular a los dos.

$(1,0,-1)\times (2,1,0)=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 0& -1\\ 2& 1& 0\end{array}\mid =(1,-2,1)$

Se comprueba con los dos productos escalares: $(1,-2,1)\cdot (1,0,-1)=1+0-1=0$ y $(1,-2,1)\cdot (2,1,0)=2-2+0=0$.

Un vector válido es $(1,-2,1)$, y también lo es cualquier múltiplo suyo.