Hodeia · Selectividad · Matemáticas II de Castilla y León

Examen de Matemáticas II de Castilla y León 2020 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Castilla y León, convocatoria ordinaria de 2020. Aquí hay 10 ejercicios publicados, 10 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Se considera el sistema de ecuaciones lineales

{\begin{cases} x - y + a z = 0 \\ x - z = 0 \\ 2 x + a y - 2 z = 0 \end{cases}

a) Estudie la existencia y número de soluciones según los valores del parámetro real

a

. [1,2 puntos]

b) Resuélvalo, si es posible, para el valor del parámetro

a = - 1

. [0,8 puntos]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Matrices

Sea la matriz

A = (\begin{array}{cc} a + 1 & 1 \\ a - 3 & a - 3 \end{array})

.

a) Indique para qué valores de

a

existe la matriz inversa

A^{- 1}

. [0,5 puntos]

b) Si

a = 4

B = (\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{array})

C = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array})

, encuentre la matriz

X

que verifica que

B + X A = C

. [1,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Rectas y Planos

Sea el plano

π \equiv x - 2 y + 2 z + 1 = 0

, la recta

r \equiv {\begin{cases} x - y = 0 \\ z + 1 = 0 \end{cases}

y el punto

A = (1, 3, - 1)

.

Hallar la ecuación del plano que pasa por

A

, es paralelo a

r

y perpendicular a

π

. [2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Rectas y Planos

Dados el punto

A (1, 2, 4)

y la recta

r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{2}

:

a) Hallar un punto

B

de la recta

r

de forma que el vector

\vec{A B}

sea paralelo al plano

π \equiv x + 2 z = 0

. [1,5 puntos]

b) Hallar un vector

(a, b, c)

perpendicular a

(1, 0, - 1)

y a

(2, 1, 0)

. [0,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Funciones

Representar gráficamente la función

f (x) = x e^{x}

, calculando previamente sus extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad y sus asíntotas. [2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Límites y continuidad

Demuestre que la ecuación

x^{3} - 12 x = - 2

tiene una solución en el intervalo

[- 2, 2]

y pruebe además que esa solución es única. [2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Límites y continuidad

a) Calcular

\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos x - x}{e^{x} + sen x - 1}

. [1 punto]

b) Calcular

\int_{0}^{π / 2} (sen x + \cos x) d x

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Integrales y Áreas

a) Calcule los puntos de corte de las gráficas de las funciones

f (x) = \frac{2}{x}

g (x) = 3 - x

. [0,5 puntos]

b) Sabiendo que en el intervalo

[1, 2]

se verifica que

g (x) \geq f (x)

, calcular el área del recinto limitado por la gráfica de ambas funciones en dicho intervalo. [1,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 8

Ejercicio 9: Distribución normal

El peso de los alumnos de 2.º de bachillerato de un instituto de León sigue una distribución normal, de media 75 kg y de desviación típica 5. Si se elige al azar un alumno, calcular la probabilidad de que:

a) Tenga un peso entre 70 y 80 kg. [1 punto]

b) Tenga un peso superior a 85 kg. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 9

Ejercicio 10: Probabilidad

La probabilidad de que a un puerto llegue un barco de tonelaje bajo, medio o alto es

0,6

0,3

0,1

, respectivamente. La probabilidad de que necesite mantenimiento en el puerto es

0,25

para los barcos de bajo tonelaje,

0,4

para los de tonelaje medio y

0,6

para los de tonelaje alto.

a) Si llega un barco a puerto, calcule la probabilidad de que necesite mantenimiento. [1 punto]

b) Si un barco ha necesitado mantenimiento, calcule la probabilidad de que sea de tonelaje medio. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 10