Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Se considera el sistema de ecuaciones lineales $\{\begin{array}{l}x-y+az=0\\ x-z=0\\ 2x+ay-2z=0\end{array}$

a) Estudie la existencia y número de soluciones según los valores del parámetro real $a$. [1,2 puntos]

b) Resuélvalo, si es posible, para el valor del parámetro $a=-1$. [0,8 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{existencia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathbf{\text{real}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El sistema es homogéneo, así que siempre tiene solución: la trivial $(0,0,0)$. Lo que decide si hay más es el rango de la matriz de coeficientes.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& a\\ 1& 0& -1\\ 2& a& -2\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1\mid \begin{array}{cc}0& -1\\ a& -2\end{array}\mid +1\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 2& -2\end{array}\mid +a\mid \begin{array}{cc}1& 0\\ 2& a\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=a+0+a^2=a^2+a=a(a+1)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=0\\ a=-1\end{array}$

Si $a\mathrm{\ne }0$ y $a\mathrm{\ne }-1$, el determinante no se anula y

$\mathrm{ran}(A)=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

de modo que el sistema es compatible determinado: su única solución es la trivial.

Si $a=0$:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 1& 0& -1\\ 2& 0& -2\end{array}\right)\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

Si $a=-1$:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 1& 0& -1\\ 2& -1& -2\end{array}\right)\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

En los dos casos $\mathrm{ran}(A)=2<3$ y el sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones dependientes de un parámetro.



$\{\begin{array}{l}x-y-z=0\\ x-z=0\\ 2x-y-2z=0\end{array}$

La segunda ecuación es la más sencilla y da directamente una relación:

$x=z$

Sustituyendo en la primera:

$z-y-z=0\Rightarrow y=0$

Tomando $z=t$ como parámetro:

$\{\begin{array}{l}x=t\\ y=0\\ z=t\end{array}t\in \mathbb{R}$

Se comprueba en la tercera ecuación, que es la que no se ha usado: $2t-0-2t=0$.

Las soluciones para $a=-1$ son los infinitos puntos de la recta $(t,0,t)$.