Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvalo en los casos en que es compatible determinado e indeterminado: [2 puntos]

$\{\begin{array}{l}x+(a+1)y+z=a,\\ x+y+(a+1)z=a,\\ (a+1)x+y+z=a\mathrm{.}\end{array}$

Se comparan los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada.

$M=\left(\begin{array}{ccc}1& a+1& 1\\ 1& 1& a+1\\ a+1& 1& 1\end{array}\right),M^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{cccc}1& a+1& 1& a\\ 1& 1& a+1& a\\ a+1& 1& 1& a\end{array}\right)$

Para el determinante conviene sumar a la primera columna las otras dos, porque las tres filas suman lo mismo:

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& a+1& 1\\ 1& 1& a+1\\ a+1& 1& 1\end{array}\mid =\mid \begin{array}{ccc}a+3& a+1& 1\\ a+3& 1& a+1\\ a+3& 1& 1\end{array}\mid =(a+3)\mid \begin{array}{ccc}1& a+1& 1\\ 1& 1& a+1\\ 1& 1& 1\end{array}\mid$

Restando la tercera fila a las otras dos:

$=(a+3)\mid \begin{array}{ccc}0& a& 0\\ 0& 0& a\\ 1& 1& 1\end{array}\mid =(a+3)\cdot 1\cdot \mid \begin{array}{cc}a& 0\\ 0& a\end{array}\mid =a^2(a+3)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a=0\text{o}a=-3$



Entonces $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$. Para resolverlo se aprovecha la simetría del sistema: sumando las tres ecuaciones,

$(a+3)(x+y+z)=3a\Rightarrow x+y+z={\displaystyle \frac{3a}{a+3}}$

La primera ecuación se puede escribir como $(x+y+z)+ay=a$, de donde

$ay=a-{\displaystyle \frac{3a}{a+3}}={\displaystyle \frac{a^2}{a+3}}\Rightarrow y={\displaystyle \frac{a}{a+3}}$

Con las otras dos ecuaciones se razona igual y se obtiene lo mismo para $x$ y para $z$:

$x=y=z={\displaystyle \frac{a}{a+3}}$



Las tres ecuaciones se convierten en la misma:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\ x+y+z=0\\ x+y+z=0\end{array}$

$\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=1<3$: sistema compatible indeterminado con dos grados de libertad. Los tres planos coinciden. Tomando $y=\lambda$ y $z=\mu$:

$(x,y,z)=(-\lambda -\mu ,\lambda ,\mu ),\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$



El sistema queda

$\{\begin{array}{l}x-2y+z=-3\\ x+y-2z=-3\\ -2x+y+z=-3\end{array}$

El menor $\mid \begin{array}{cc}1& -2\\ 1& 1\end{array}\mid =3\mathrm{\ne }0$ da $\mathrm{ran}(M)=2$. Ahora bien, sumando las tres ecuaciones los primeros miembros se cancelan por completo y queda $0=-9$, que es imposible; por tanto $\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=3$ y el sistema es incompatible.