Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Determine los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ para los que $(x,y,z)=(1,2,3)$ es solución del sistema [2 puntos]

$\{\begin{array}{l}2ax+by+z=3c,\\ 3x-2by-2cz=a,\\ 5ax-2y+cz=-4b\mathrm{.}\end{array}$

Decir que $(1,2,3)$ es solución significa que al sustituir esos valores las tres igualdades se cumplen. Se sustituye en cada ecuación y se agrupan los parámetros, que pasan a ser las incógnitas del nuevo sistema.

$2a\cdot 1+b\cdot 2+3=3c\Rightarrow 2a+2b-3c=-3$

$3\cdot 1-2b\cdot 2-2c\cdot 3=a\Rightarrow -a-4b-6c=-3\Rightarrow a+4b+6c=3$

$5a\cdot 1-2\cdot 2+c\cdot 3=-4b\Rightarrow 5a+4b+3c=4$

Queda un sistema lineal de tres ecuaciones con las incógnitas $a$, $b$ y $c$:

$\{\begin{array}{l}2a+2b-3c=-3\\ a+4b+6c=3\\ 5a+4b+3c=4\end{array}$

Restando la segunda ecuación de la tercera desaparece la $b$:

$4a-3c=1$

Multiplicando la primera por 2 y restándole la tercera desaparece también:

$(4a+4b-6c)-(5a+4b+3c)=-6-4\Rightarrow -a-9c=-10\Rightarrow a+9c=10$

Con las dos relaciones se despeja: de la segunda, $a=10-9c$, y sustituyendo en la primera:

$4(10-9c)-3c=1\Rightarrow 40-36c-3c=1\Rightarrow -39c=-39\Rightarrow c=1$

$a=10-9=1$

Y de $a+4b+6c=3$:

$1+4b+6=3\Rightarrow 4b=-4\Rightarrow b=-1$

Se comprueba en las tres ecuaciones originales con $a=1$, $b=-1$ y $c=1$:

$2-2+3=3$, $3+4-6=1$ y $5-4+3=4$, que efectivamente valen $3c=3$, $a=1$ y $-4b=4$.

Los parámetros pedidos son $a=1$, $b=-1$ y $c=1$.