Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

a) Dado el sistema de ecuaciones homogéneo [1,25 puntos]

$\{\begin{array}{l}3x+y-z=0\\ 3x+2y-mz=0\\ x-y-z=0\end{array}$

indique para qué valores de $m$ el sistema tiene solamente la solución trivial. Resuelva el sistema anterior para un valor de $m$ que lo haga compatible indeterminado.

b) Dada la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 3& 3& 3\\ 3& 0& 0\end{array}\right)$, resuelva el sistema [1,25 puntos]

$(A-\frac{1}{3}{A}^T)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ 1\end{array}\right)$

donde $A^T$ es la matriz traspuesta de $A$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Indique}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{m}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{solamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{trivial.}}\mathbf{\text{Resuelva}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{anterior}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathit{m}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{haga}}\mathbf{\text{compatible}}\mathbf{\text{indeterminado.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Un sistema homogéneo es siempre compatible, porque la terna nula lo cumple; tiene solo esa solución cuando el rango de la matriz de coeficientes coincide con el número de incógnitas, es decir, cuando el determinante no se anula.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}3& 1& -1\\ 3& 2& -m\\ 1& -1& -1\end{array}\mid$

Desarrollando por la primera fila:

$=3(-2-m)-1(-3+m)-1(-3-2)$

$=-6-3m+3-m+5=2-4m$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow m={\displaystyle \frac{1}{2}}$

El sistema tiene solamente la solución trivial para todo $m\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Para $m={\displaystyle \frac{1}{2}}$ el determinante se anula y el rango baja a 2 —el menor formado por las dos primeras columnas de las filas primera y tercera vale $-3-1=-4\mathrm{\ne }0$—, de modo que el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad. Se resuelve con dos de las tres ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}3x+y-z=0\\ x-y-z=0\end{array}$

Sumando las dos: $4x-2z=0\Rightarrow z=2x$.

Restando la segunda de la primera: $2x+2y=0\Rightarrow y=-x$.

Tomando $x=\lambda$ como parámetro:

$(x,y,z)=(\lambda ,-\lambda ,2\lambda ),\lambda \in \mathbb{R}$

Se comprueba en la ecuación que no se ha usado: $3\lambda -2\lambda -\frac{1}{2}\cdot 2\lambda =0$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Dada}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{A,}}\mathbf{\text{resuelva}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se calcula primero la matriz de coeficientes. La traspuesta se obtiene cambiando filas por columnas:

$A^T=\left(\begin{array}{ccc}3& 3& 3\\ 0& 3& 0\\ 0& 3& 0\end{array}\right)$

$A-{\displaystyle \frac{1}{3}}{A}^T=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 3& 3& 3\\ 3& 0& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ 3& 2& 3\\ 3& -1& 0\end{array}\right)$

Su determinante vale

$\mid \begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ 3& 2& 3\\ 3& -1& 0\end{array}\mid =2(0+3)+1(0-9)-1(-3-6)=6-9+9=6\mathrm{\ne }0$

luego el sistema es compatible determinado. Escrito en forma de ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}2x-y-z=0\\ 3x+2y+3z=7\\ 3x-y=1\end{array}$

De la tercera se despeja $y=3x-1$, y llevándolo a la primera:

$2x-(3x-1)-z=0\Rightarrow -x+1-z=0\Rightarrow z=1-x$

Se sustituyen las dos en la segunda:

$3x+2(3x-1)+3(1-x)=7\Rightarrow 3x+6x-2+3-3x=7$

$6x+1=7\Rightarrow x=1$

$y=2;z=0$

La solución del sistema es $x=1$, $y=2$, $z=0$.