Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Añada una ecuación al sistema de ecuaciones lineales [2 puntos]

$\{\begin{array}{l}2x-y+2z=1,\\ x+y-z=3,\end{array}$

de modo que sea:

i) incompatible.

ii) compatible determinado.

iii) compatible indeterminado.

Se parte de la matriz de coeficientes y de la ampliada del sistema dado:

$M=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 2\\ 1& 1& -1\end{array}\right),M^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 2& 1\\ 1& 1& -1& 3\end{array}\right)$

Las dos filas no son proporcionales, luego $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=2<3$: el sistema de partida es compatible indeterminado y sus soluciones forman una recta. Conviene tener a mano una combinación cómoda de las dos ecuaciones; sumándolas desaparece la $y$:

$(2x-y+2z)+(x+y-z)=1+3\Rightarrow 3x+z=4$

Al añadir una tercera ecuación las matrices pasan a ser $3\times 3$ y $3\times 4$, y el carácter del sistema depende de los nuevos rangos.

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Incompatible.}}$

Basta que el primer miembro de la nueva ecuación sea combinación lineal de los otros dos —para que el rango de $M$ siga siendo 2— pero que el término independiente no lo sea, de modo que el de $M^{\mathrm{\prime }}$ suba a 3. Sirve la combinación anterior con otro segundo miembro:

$3x+z=0$

En efecto, $\mathrm{ran}(M)=2$ y $\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=3$, luego el sistema es incompatible: las dos primeras ecuaciones obligan a $3x+z=4$ y la tercera lo niega.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Compatible}}\mathbf{\text{determinado.}}$

Ahora hace falta una ecuación cuyo primer miembro no dependa de los anteriores, para que el rango suba a 3 en las dos matrices. Sirve, por ejemplo,

$x=0$

porque entonces $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$. Resolviendo el sistema resultante: de $3x+z=4$ con $x=0$ sale $z=4$, y de $x+y-z=3$ sale $y=7$.

$(x,y,z)=(0,7,4)$

$\mathbf{\text{iii)}}\mathbf{\text{Compatible}}\mathbf{\text{indeterminado.}}$

Se necesita que la nueva ecuación no aporte información, es decir, que sea combinación lineal de las dos anteriores, término independiente incluido. Sirve exactamente la suma de las dos:

$3x+z=4$

Con ella $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=2<3$ y el sistema sigue teniendo infinitas soluciones. Tomando $z=\lambda$ se obtienen:

$(x,y,z)=({\displaystyle \frac{4-\lambda }{3}},{\displaystyle \frac{5+4\lambda }{3}},\lambda ),\lambda \in \mathbb{R}$