Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$: [2 puntos]

$\{\begin{array}{l}x-y+az=a,\\ ax+y-z=a,\\ (a+1)x+z=a+2,\end{array}$

halle la matriz $A^{-1}b$ sin calcular la matriz inversa de $A$, siendo $A$ la matriz de coeficientes y $b$ la de términos independientes.

Escrito en forma matricial el sistema es $AX=b$, con

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& a\\ a& 1& -1\\ a+1& 0& 1\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}a\\ a\\ a+2\end{array}\right)$

Si $A$ tiene inversa, multiplicando por la izquierda por $A^{-1}$ se obtiene $X=A^{-1}b$: la matriz que se pide es exactamente la solución del sistema. Basta, pues, resolverlo, y así no se calcula ninguna inversa.

Primero, la condición para que $A^{-1}$ exista. Desarrollando el determinante por la última fila:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(a+1)\mid \begin{array}{cc}-1& a\\ 1& -1\end{array}\mid -0+1\cdot \mid \begin{array}{cc}1& -1\\ a& 1\end{array}\mid$

$=(a+1)(1-a)+(1+a)=(a+1)(1-a+1)=(a+1)(2-a)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a=-1\text{o}a=2$

De modo que $A^{-1}$ existe si $a\mathrm{\ne }-1$ y $a\mathrm{\ne }2$, y en ese caso el sistema es compatible determinado y se puede resolver por la regla de Cramer.

${\mathrm{\Delta }}_x=\mid \begin{array}{ccc}a& -1& a\\ a& 1& -1\\ a+2& 0& 1\end{array}\mid =a+2a+2-a^2-2a=-a^2+a+2$

${\mathrm{\Delta }}_y=\mid \begin{array}{ccc}1& a& a\\ a& a& -1\\ a+1& a+2& 1\end{array}\mid =(2a+2)-a(2a+1)+a^2=-a^2+a+2$

${\mathrm{\Delta }}_z=\mid \begin{array}{ccc}1& -1& a\\ a& 1& a\\ a+1& 0& a+2\end{array}\mid =(a+2)+a-a^2-a=-a^2+a+2$

Los tres determinantes coinciden con $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(a+1)(2-a)=-a^2+a+2$, de manera que

$x={\displaystyle \frac{{\mathrm{\Delta }}_x}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}=1,y={\displaystyle \frac{{\mathrm{\Delta }}_y}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}=1,z={\displaystyle \frac{{\mathrm{\Delta }}_z}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}=1$

Se comprueba en las tres ecuaciones: $1-1+a=a$, $a+1-1=a$ y $(a+1)+1=a+2$, que se cumplen para cualquier valor de $a$.

Por lo tanto, para todo $a\mathrm{\ne }-1$ y $a\mathrm{\ne }2$,

$A^{-1}b=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$