Hodeia · Selectividad · Matemáticas II de La Rioja

Examen de Matemáticas II de La Rioja 2025 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de La Rioja, convocatoria ordinaria de 2025. Aquí hay 7 ejercicios publicados, 7 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Distribución normal

La producción de vino por hectárea (ha) de terreno en una comarca sigue una distribución

N (μ, σ)

. Los datos históricos indican que solo en el 2 % de los años la producción supera los 9000 kg/ha, mientras que en el 56 % de los años queda por debajo de los 8315 kg/ha.

a) Calcule la media y la desviación típica de la distribución. [1,75 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que la producción supere los 8500 kg/ha en un año elegido al azar. [0,75 puntos]

Utilice la tabla de la distribución normal tipificada.

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Optimización

La vela de un barco tiene forma de triángulo rectángulo. Si la hipotenusa mide 8 m, calcule las dimensiones para que la superficie de la vela sea máxima. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Integrales y Áreas

Sea la función

f (x) = - x^{2} + α x + 11

, donde

α

es un parámetro real. Calcule el valor de

α

para que

f (x)

tenga un máximo relativo en

x = \frac{1}{2}

. Para ese valor de

α

, calcule el área encerrada entre las gráficas de

f (x)

f^{'} (x)

. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Sistemas de ecuaciones

a) Dado el sistema de ecuaciones homogéneo [1,25 puntos]

{\begin{cases} 3 x + y - z = 0 \\ 3 x + 2 y - m z = 0 \\ x - y - z = 0 \end{cases}

indique para qué valores de

m

el sistema tiene solamente la solución trivial. Resuelva el sistema anterior para un valor de

m

que lo haga compatible indeterminado.

b) Dada la matriz

A = (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 0 & 0 \end{array})

, resuelva el sistema [1,25 puntos]

(A - \frac{1}{3} A^{T}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 7 \\ 1 \end{array})

donde

A^{T}

es la matriz traspuesta de

A

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Matrices

a) Dada la matriz

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{array})

, estudie el rango de la matriz

A - λ I

según los valores de

λ \in R

, donde

I

es la matriz identidad de orden 3. [1,25 puntos]

b) Dada la matriz [1,25 puntos]

A = (\begin{array}{cccc} 1 & - 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & - 1 \end{array})

calcule su determinante. ¿Qué solución tiene el sistema

A X = b

siendo

b = (0, 0, 0, 0)^{T}

? Nota:

b^{T}

denota la matriz traspuesta de

b

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Rectas y Planos

a) Obtenga el valor de

m

para el cual las rectas

r \equiv x = y = z - m

s \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{2 y}{3} = 2 z - 2

se cortan. Calcule el punto de corte de

r

s

para el valor de

m

calculado. [1,25 puntos]

b) Se consideran los puntos

P = (0, 2, - 1)

Q = (2, - 2, 1)

. Encuentre la ecuación del plano

π

que cumple que los dos puntos son simétricos respecto a él. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Rectas y Planos

a) Dada la recta

r \equiv x - 2 = y + 1 = - z

, calcule la ecuación de la recta

s

que corta a

r

perpendicularmente y que pasa por

Q = (2, - 2, 1)

. [1,25 puntos]

b) Dados los planos

m x + 2 y - 3 z - 1 = 0

2 x - 4 y + 6 z + 5 = 0

, halle los valores de

m

para que sean: [1,25 puntos]

i) paralelos.

ii) perpendiculares.

Ver la solución del ejercicio 7