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Examen de Matemáticas II de La Rioja 2020 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de La Rioja, convocatoria ordinaria de 2020. Aquí hay 10 ejercicios publicados, 10 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Límites y continuidad

a) Calcule el siguiente límite: [1 punto]

\lim_{x \to 0} {(\frac{1 - sen x \cos x}{1 + sen x \cos x})}^{\frac{1}{sen x}}

b) Determine el valor de la constante real

a

para que se satisfaga la siguiente igualdad: [1 punto]

\lim_{x \to 4} \frac{tg ((\frac{π}{8} + 1) \sqrt{x} - 2)}{x^{2} - 16 + a x} = \frac{1}{32}

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Derivadas

Determine los valores de los parámetros reales

a

b

para que las funciones

f (x) = a x^{2} + b

g (x) = x^{2} + x + a

sean tangentes en el punto de abscisa

x = - 1

. Para los valores obtenidos de

a

b

, calcule la recta tangente a las curvas en

x = - 1

. [2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Integrales y Áreas

Calcule el área del recinto limitado por las rectas

x = - 2

x = 2

, el eje

O X

y la función [2 puntos]

f (x) = {\begin{cases} x^{2}, & x < 0, \\ x, & x \geq 0. \end{cases}

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Matrices

Sea la matriz

A = (\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ m & 0 & 2 \end{array})

, con

m \in R ∖ {0}

. [2 puntos]

a) Halle

α

β

de tal forma que

A^{2} = α A + β I

, siendo

I

la matriz identidad.

b) Calcule

A^{5}

utilizando la anterior identidad.

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Sistemas de ecuaciones

Dado el sistema de ecuaciones lineales [2 puntos]

{\begin{cases} a y + (a + 1) z = a, \\ a x + z = a, \\ x + a z = - a . \end{cases}

a) Discútalo y resuélvalo según el valor del parámetro real

a

.

b) Determine la inversa de la matriz asociada al sistema para

a = 2

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Matrices

Sean

A = (\begin{array}{cc} - 13 & 5 \\ 10 & - 5 \end{array})

B = (\begin{array}{cc} 5 & - 2 \\ - 4 & 2 \end{array})

. [2 puntos]

a) Halle

X

Y

, matrices soluciones del sistema de ecuaciones:

{\begin{cases} 3 X - 5 Y = A, \\ - X + 2 Y = B . \end{cases}

b) Calcule, si existen, las matrices inversas de

X

Y

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Rectas y Planos

Determine, en función del parámetro real

a

, la posición relativa de los siguientes planos: [2 puntos]

{\begin{cases} (a - 1) x + y - z = a, \\ (a + 1) x + (2 a + 1) y + z = - a, \\ a x + a y + z = - a . \end{cases}

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Ejercicio 8: Geometría

Dados los vectores

\vec{u} = (1, 2, 3)

\vec{v} = (0, 1, 1)

: [2 puntos]

a) Halle un vector

\vec{w}

de módulo uno que sea perpendicular a

\vec{u}

y a

\vec{v}

.

b) Calcule el área del paralelogramo determinado por

\vec{u}

\vec{v}

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Ejercicio 9: Probabilidad

En una clase de primero de primaria el 50 % de los niños practica natación, el 20 % practica baloncesto y el 5 % ambos deportes. [2 puntos]

a) Calcule la probabilidad de que un niño elegido al azar no practique ni natación ni baloncesto.

b) Calcule la probabilidad de que un niño practique natación si juega al baloncesto.

Ver la solución del ejercicio 9

Ejercicio 10: Distribución normal

Se sabe que dos poblaciones distintas

X

Y

se distribuyen según una normal de media 25. Además,

P (X \geq 27) = P (Y \geq 30) = 0,1587

. Calcule sus respectivas varianzas. [2 puntos]

Utilice la tabla de la distribución normal tipificada.

Ver la solución del ejercicio 10