Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Determine, en función del parámetro real $a$, la posición relativa de los siguientes planos: [2 puntos]

$\{\begin{array}{l}(a-1)x+y-z=a,\\ (a+1)x+(2a+1)y+z=-a,\\ ax+ay+z=-a\mathrm{.}\end{array}$

La posición relativa de tres planos es el carácter del sistema que forman sus ecuaciones, de modo que se discute comparando los rangos.

$M=\left(\begin{array}{ccc}a-1& 1& -1\\ a+1& 2a+1& 1\\ a& a& 1\end{array}\right)$

Para el determinante conviene restar la tercera fila a la segunda, lo que no lo altera y simplifica mucho la cuenta:

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}a-1& 1& -1\\ 1& a+1& 0\\ a& a& 1\end{array}\mid$

Desarrollando por la segunda fila:

$=-1\cdot \mid \begin{array}{cc}1& -1\\ a& 1\end{array}\mid +(a+1)\mid \begin{array}{cc}a-1& -1\\ a& 1\end{array}\mid =-(1+a)+(a+1)(a-1+a)$

$=(a+1)[-1+2a-1]=(a+1)(2a-2)=2(a+1)(a-1)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a=1\text{o}a=-1$



$\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$: el sistema es compatible determinado y los tres planos tienen exactamente un punto común.



El sistema queda

$\{\begin{array}{l}y-z=1\\ 2x+3y+z=-1\\ x+y+z=-1\end{array}$

El menor $\mid \begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 3\end{array}\mid =-2\mathrm{\ne }0$ da $\mathrm{ran}(M)=2$. Además la tercera fila es combinación de las otras dos, $F_3=-\frac{1}{2}{F}_1+\frac{1}{2}{F}_2$, y la misma combinación se cumple con los términos independientes: $-\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot (-1)=-1$. Por tanto $\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=2$ también.

$\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=2<3$

El sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad: los tres planos se cortan en una recta. Tomando $z=\lambda$ en las dos primeras ecuaciones:

$(x,y,z)=(-2-2\lambda ,1+\lambda ,\lambda ),\lambda \in \mathbb{R}$



El sistema queda

$\{\begin{array}{l}-2x+y-z=-1\\ -y+z=1\\ -x-y+z=1\end{array}$

El menor $\mid \begin{array}{cc}-2& 1\\ 0& -1\end{array}\mid =2\mathrm{\ne }0$ da $\mathrm{ran}(M)=2$, y la tercera fila vuelve a ser combinación de las otras dos, con los términos independientes incluidos: $F_3=\frac{1}{2}{F}_1+\frac{3}{2}{F}_2$ y $\frac{1}{2}(-1)+\frac{3}{2}\cdot 1=1$.

$\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=2<3$

De nuevo los tres planos se cortan en una recta. De la segunda ecuación, $y=z-1$; sustituyendo en la primera, $-2x+z-1-z=-1$, es decir, $x=0$. Tomando $z=\lambda$:

$(x,y,z)=(0,\lambda -1,\lambda ),\lambda \in \mathbb{R}$

En resumen: los tres planos se cortan en un punto salvo para $a=1$ y $a=-1$, valores para los que se cortan en una recta.