Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

Considere los puntos $A(1,2,0)$, $B(2,m,1)$, $C(3,4,2)$ y $D(1,-1,m)$.

a) Halle los valores de $m$ para los cuales los puntos anteriores son coplanarios. [1 punto]

b) Para $m=1$, calcule el área del triángulo de vértices $A$, $B$, $C$ y el volumen del tetraedro de vértices $A$, $B$, $C$, $D$. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{m}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{cuales}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{anteriores}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{coplanarios.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Cuatro puntos son coplanarios cuando los tres vectores que salen de uno de ellos hacia los otros tres son linealmente dependientes, es decir, cuando su producto mixto es nulo. Tomamos $A$ como origen.

$\overrightarrow{AB}=(1,m-2,1),\overrightarrow{AC}=(2,2,2),\overrightarrow{AD}=(0,-3,m)$

$[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]=\mid \begin{array}{ccc}1& m-2& 1\\ 2& 2& 2\\ 0& -3& m\end{array}\mid$

Desarrollamos por la primera columna, que tiene un cero.

$\mid \begin{array}{ccc}1& m-2& 1\\ 2& 2& 2\\ 0& -3& m\end{array}\mid =1\cdot \mid \begin{array}{cc}2& 2\\ -3& m\end{array}\mid -2\cdot \mid \begin{array}{cc}m-2& 1\\ -3& m\end{array}\mid$

$=(2m+6)-2(m(m-2)+3)=2m+6-2m^2+4m-6=-2m^2+6m$

Igualamos a cero y factorizamos.

$-2m^2+6m=0\Rightarrow -2m(m-3)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}m=0\\ m=3\end{array}$

Los cuatro puntos son coplanarios para $m=0$ y para $m=3$.



Para $m=1$ los puntos son $A(1,2,0)$, $B(2,1,1)$, $C(3,4,2)$ y $D(1,-1,1)$, y los tres vectores que concurren en $A$ son

$\overrightarrow{AB}=(1,-1,1),\overrightarrow{AC}=(2,2,2),\overrightarrow{AD}=(0,-3,1)$



El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados.

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{\mathrm{ı}}& \vec{\mathrm{ȷ}}& \vec{k}\\ 1& -1& 1\\ 2& 2& 2\end{array}\mid =(-2-2)\vec{\mathrm{ı}}-(2-2)\vec{\mathrm{ȷ}}+(2+2)\vec{k}=(-4,0,4)$

$\mid \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\mid =\sqrt{(-4{)}^2+0^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\mid =2\sqrt{2}\approx \mathrm{2,83}{\text{u}}^2$

El volumen del tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto, que ya calculamos en el apartado anterior en función de $m$.

$[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]=-2m^2+6m\Rightarrow \text{para }m=1:-2+6=4$

$V={\displaystyle \frac{1}{6}}\mid 4\mid ={\displaystyle \frac{2}{3}}{\text{u}}^3$

El área del triángulo $ABC$ es de $2\sqrt{2}\approx \mathrm{2,83}$ unidades cuadradas y el volumen del tetraedro $ABCD$ es de ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ unidades cúbicas. Que el volumen no sea nulo confirma lo obtenido en el apartado a): para $m=1$ los cuatro puntos no son coplanarios.