Examen de Matemáticas II de Andalucía 2026 (convocatoria ordinaria)

Una ventana tiene forma de rectángulo y está coronada por un semicírculo. Sabiendo que el perímetro de la ventana mide $8$ metros, halle las dimensiones de la ventana que permitan la mayor entrada de luz. [2,5 puntos]

Considere los puntos $A(1,2,0)$, $B(2,m,1)$, $C(3,4,2)$ y $D(1,-1,m)$.

a) Halle los valores de $m$ para los cuales los puntos anteriores son coplanarios. [1 punto]

b) Para $m=1$, calcule el área del triángulo de vértices $A$, $B$, $C$ y el volumen del tetraedro de vértices $A$, $B$, $C$, $D$. [1,5 puntos]

Considere el sistema $\{\begin{array}{l}3x-y\phantom{+(3-a)z}=a^2\\ \phantom{3x+}(1-a)y+2z=0\\ \phantom{3x+}4y+(3-a)z=a-5\end{array}$

a) Discútalo según los valores de $a$. [1,75 puntos]

b) Para $a=0$ resuelva el sistema, si es posible. [0,75 puntos]

Considere la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}\alpha & \beta & 1\\ 2& \alpha & \beta \\ 3& 4& \alpha \end{array}\right)$ que cumple $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-2$.

a) Calcule $\mid \begin{array}{ccc}-3& -4& -\alpha \\ \alpha -2& \beta -\alpha & 1-\beta \\ 8& 4\alpha & 4\beta \end{array}\mid$ [1,5 puntos]

b) Calcule $\mathrm{\mid }{A}^{-1}(A^t{)}^{2}A\mathrm{\mid }$ [1 punto]

Dada la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definida por $f(x)={\displaystyle \frac{8{\mathrm{e}}^x-4{\mathrm{e}}^{2x}}{1+{\mathrm{e}}^x}}$, halle la primitiva de $f$ cuya gráfica tiene por tangente a la recta $y=2x+12\ln (2)$ en el punto de abscisa $x=0$. [2,5 puntos]

(Sugerencia: puede hacer el cambio ${\mathrm{e}}^x=t$).

Disponemos de dos bolsas con monedas de oro y monedas de plata. En la primera hay $2$ monedas de oro y $3$ monedas de plata. En la segunda hay $6$ monedas de oro y $3$ de plata. Sin mirar, extraemos una moneda al azar de la primera bolsa y la depositamos en la segunda bolsa. Luego extraemos una moneda de la segunda bolsa.

a) Calcule la probabilidad de que la segunda moneda sea de oro, sabiendo que la moneda que se extrajo de la primera bolsa era de plata. [0,75 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que la moneda que se extrajo de la primera bolsa fuera de plata, sabiendo que la segunda moneda es de oro. [1,75 puntos]