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Examen de Matemáticas II de Andalucía 2023 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Andalucía, convocatoria extraordinaria de 2023. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Derivadas

Sea la función

f : [- 2, 2 π] ⟶ R

, definida por

f (x) = {\begin{cases} 5 x + 1 & si - 2 \leq x \leq 0 \\ e^{x} \cos (x) & si 0 < x \leq 2 π \end{cases}

a) Halle los extremos relativos y absolutos de

f

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [2 puntos]

b) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = \frac{π}{2}

. [0,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Derivadas

Sea

f : (0, + \infty) \to R

la función definida por

f (x) = x {(\ln (x))}^{2}

(

\ln

denota la función logaritmo neperiano).

a) Calcule, si existen, sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [1,25 puntos]

b) Calcule, si existen, sus extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Integrales y Áreas

Calcule

a

con

0 < a < 1

, tal que

\int_{a}^{1} \frac{\ln (x)}{x} d x + 2 = 0

(

\ln

denota la función logaritmo neperiano). [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Integrales y Áreas

Considere las funciones

f : R \to R

g : R - {0} \to R

definidas por

f (x) = 5 - x^{2}

g (x) = \frac{4}{x^{2}}

.

a) Esboce las gráficas de las dos funciones y calcule los puntos de corte entre ellas. [1,25 puntos]

b) Calcule la suma de las áreas de los recintos limitados por las gráficas de

f

g

. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Matrices

Sea la matriz

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array})

I

la matriz identidad de orden 3.

a) Halle los valores de

m

para que la matriz

A - m I

no tenga inversa. [1 punto]

b) Halle

x

, distinto de cero, para que

A - x I

sea la inversa de la matriz

\frac{1}{x} (A - I)

. [1,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Sistemas de ecuaciones

El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por un importe de 500 euros sin incluir impuestos. El gasto en vino es 60 euros menos que los gastos en refrescos y cerveza conjuntamente, sin incluir impuestos. Teniendo en cuenta que los impuestos de los refrescos, la cerveza y el vino son el 6 %, el 12 % y el 30 %, respectivamente, entonces el importe total de la factura incluyendo impuestos ha ascendido a 592,4 euros. Calcule el importe, incluyendo impuestos, invertido en cada una de las bebidas. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Rectas y Planos

Considere los planos

π_{1} \equiv x - y + z = 0

π_{2} \equiv x + y = 2

.

a) Calcule la distancia entre la recta intersección de

π_{1}

π_{2}

y el punto

P (2, 6, - 2)

. [1,5 puntos]

b) Halle el ángulo que forman

π_{1}

π_{2}

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Volúmenes

Calcule el volumen del tetraedro que limita el plano determinado por los puntos

A (0, 2, - 2)

B (3, 2, 1)

C (2, 3, 2)

con los planos cartesianos. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 8