Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Considere las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}-\{0\}\to \mathbb{R}$ definidas por $f(x)=5-x^2$ y $g(x)={\displaystyle \frac{4}{x^2}}$.

a) Esboce las gráficas de las dos funciones y calcule los puntos de corte entre ellas. [1,25 puntos]

b) Calcule la suma de las áreas de los recintos limitados por las gráficas de $f$ y $g$. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Esboce}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{funciones}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{ellas.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La primera función es una parábola con las ramas hacia abajo y vértice en $(0,5)$; la segunda es siempre positiva, par, y tiene al eje de ordenadas como asíntota vertical y al eje de abscisas como asíntota horizontal. Igualamos las dos expresiones para hallar los cortes.

$5-x^2={\displaystyle \frac{4}{x^2}}$

Multiplicamos por $x^2$, que no se anula en el dominio de $g$:

$5x^2-x^4=4\Rightarrow x^4-5x^2+4=0$

Es una ecuación bicuadrada; con $u=x^2$:

$u^2-5u+4=0\Rightarrow u={\displaystyle \frac{5\pm 3}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}u=4\\ u=1\end{array}$

$x^2=4\Rightarrow x=\pm 2;x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$

Calculamos las ordenadas con la parábola:

$f(\pm 1)=5-1=4;f(\pm 2)=5-4=1$

Las gráficas se cortan en $(-2,1)$, $(-1,4)$, $(1,4)$ y $(2,1)$, y encierran dos recintos simétricos respecto del eje de ordenadas:



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{suma}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{reas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{recintos}}\mathbf{\text{limitados}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficas}}\mathbf{\text{de}}\mathit{f}\mathbf{\text{y}}\mathit{g}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Como ambas funciones son pares, los dos recintos tienen la misma área y basta calcular el de la derecha y duplicar. Comprobamos antes qué gráfica va por encima evaluando en un punto intermedio:

$x={\displaystyle \frac{3}{2}}:f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)={\displaystyle \frac{11}{4}}>{\displaystyle \frac{16}{9}}=g\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$

${\mathcal{A}}_1={\int }_1^2(5-x^2-{\displaystyle \frac{4}{x^2}})dx={[5x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{4}{x}}]}_1^2$

$=(10-{\displaystyle \frac{8}{3}}+2)-(5-{\displaystyle \frac{1}{3}}+4)={\displaystyle \frac{28}{3}}-{\displaystyle \frac{26}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

Por la simetría respecto del eje $OY$, el recinto de la izquierda mide lo mismo:

$\mathcal{A}=2\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$

La suma de las áreas de los dos recintos es ${\displaystyle \frac{4}{3}}\approx \mathrm{1,33}$ unidades de área.