Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Considere la función $f$ definida por $f(x)={\displaystyle \frac{x^3}{x^2-2x+1}}$ para $x\mathrm{\ne }1$. Halle una primitiva de $f$ que pase por el punto $(2,6)$. [2,5 puntos]

El denominador es un cuadrado perfecto, $x^2-2x+1=(x-1{)}^2$, y el grado del numerador supera al del denominador, así que empezamos por la división entera y después descomponemos el resto en fracciones simples.

$x^3=(x^2-2x+1)(x+2)+(3x-2)$

$f(x)=x+2+{\displaystyle \frac{3x-2}{(x-1{)}^2}}$

Al ser la raíz doble, la descomposición lleva un término por cada potencia del factor:

${\displaystyle \frac{3x-2}{(x-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{A}{x-1}}+{\displaystyle \frac{B}{(x-1{)}^2}}$

$3x-2=A(x-1)+B$

$x=1\Rightarrow 1=B;\text{coeficiente de }x:3=A$

Integramos ya término a término:

${\displaystyle \int f(x)dx=\int (x+2)dx+3\int {\displaystyle \frac{dx}{x-1}}+\int {\displaystyle \frac{dx}{(x-1{)}^2}}}$

$F(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+2x+3\ln \mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }-{\displaystyle \frac{1}{x-1}}+C$

Imponemos por último que la gráfica pase por $(2,6)$:

$F(2)=2+4+3\ln 1-1+C=5+C$

$5+C=6\Rightarrow C=1$

La primitiva pedida es $F(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+2x+3\ln \mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }-{\displaystyle \frac{1}{x-1}}+1$.