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Examen de Matemáticas II de Andalucía 2022 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Andalucía, convocatoria ordinaria de 2022. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Límites y continuidad

Considere la función continua

f

definida por

f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{x} & si x < - 1 \\ a x + b & si - 1 \leq x < 1 \\ \frac{x^{2}}{x + 1} & si x \geq 1 \end{cases}

a) Calcule

a

b

. [1 punto]

b) Estudie y halle las asíntotas de la gráfica de

f

. [1,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Optimización

De entre todos los rectángulos con lados paralelos a los ejes de coordenadas, determine las dimensiones de aquel de área máxima que puede inscribirse en la región limitada por las gráficas de las funciones

f, g : R \to R

, definidas por

f (x) = 4 - \frac{x^{2}}{3}

g (x) = \frac{x^{2}}{6} - 2

. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Integrales y Áreas

Sea

f

la función definida por

f (x) = {\begin{cases} 2 x + 4 & si x < 0 \\ (x - 2)^{2} & si x \geq 0 \end{cases}

a) Calcule los puntos de corte de la gráfica de

f

con el eje de abscisas y esboce la gráfica de la función. [1 punto]

b) Halle el área del recinto limitado por la gráfica de

f

y por el eje de abscisas. [1,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Integrales y Áreas

Considere la función

f

definida por

f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 2 x + 1}

para

x \neq 1

. Halle una primitiva de

f

que pase por el punto

(2, 6)

. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Sistemas de ecuaciones

Considere el sistema

{\begin{cases} x - y + m z = - 3 \\ - m x + 3 y - z = 1 \\ x - 4 y + m z = - 6 \end{cases}

a) Discuta el sistema según los valores de

m

. [1,75 puntos]

b) Para

m = 2

resuelva el sistema, si es posible. [0,75 puntos]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Matrices

Considere la matriz

A = (\begin{array}{ccc} m & \sqrt{m} & \sqrt{m} \\ \sqrt{m} & m & 1 \\ \sqrt{m} & 1 & m \end{array})

, donde

m \geq 0

.

a) ¿Para qué valores de

m

tiene inversa la matriz

A

? [1 punto]

b) Para

m = 4

resuelva, si es posible, la ecuación matricial

A X = 12 I

, donde

I

es la matriz identidad de orden 3. [1,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Geometría

Se consideran los vectores

\vec{u} = (- 1, 2, 3)

\vec{v} = (2, 0, - 1)

, así como el punto

A (- 4, 4, 7)

.

a) Calcule

a

b

para que el vector

\vec{w} = (1, a, b)

sea ortogonal a

\vec{u}

\vec{v}

. [0,75 puntos]

b) Determine los cuatro vértices de un paralelogramo cuyos lados tienen las direcciones de los vectores

\vec{u}

\vec{v}

, y que tiene al vector

\vec{O A}

como una de sus diagonales, siendo

O

el origen de coordenadas. [1,75 puntos]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Rectas y Planos

Considere la recta

r \equiv x - 2 = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 1}{2}

, así como la recta

s

determinada por el punto

P (1, 2, 3)

y el vector director

\vec{v} = (1 + a, - a, 3 a)

.

a) Calcule

a

para que las rectas

r

s

se corten. [1,5 puntos]

b) Calcule

a