Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Considere la recta $r\equiv x-2={\displaystyle \frac{y}{-1}}={\displaystyle \frac{z-1}{2}}$, así como la recta $s$ determinada por el punto $P(1,2,3)$ y el vector director $\vec{v}=(1+a,-a,3a)$.

a) Calcule $a$ para que las rectas $r$ y $s$ se corten. [1,5 puntos]

b) Calcule $a$ para que las rectas $r$ y $s$ sean perpendiculares. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathit{a}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{s}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{corten.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Leemos de la ecuación continua de $r$ un punto y su vector director, y anotamos los datos de $s$.

$r:R(2,0,1),{\vec{v}}_r=(1,-1,2);s:P(1,2,3),{\vec{v}}_s=(1+a,-a,3a)$

Dos rectas se cortan cuando son coplanarias y no paralelas. La coplanariedad equivale a que el producto mixto de los dos directores y del vector que une un punto de cada recta se anule.

$\overrightarrow{RP}=(1,2,3)-(2,0,1)=(-1,2,2)$

$\mid \begin{array}{ccc}-1& 2& 2\\ 1& -1& 2\\ 1+a& -a& 3a\end{array}\mid =0$

Desarrollando por la primera fila:

$-1(-3a+2a)-2(3a-2(1+a))+2(-a+(1+a))$

$=a-2(a-2)+2=6-a$

$6-a=0\Rightarrow a=6$

Falta descartar el paralelismo, que haría que las rectas fueran coplanarias sin cortarse. Para $a=6$ el director de $s$ es $(7,-6,18)$, que no es proporcional a $(1,-1,2)$.

Las rectas $r$ y $s$ se cortan cuando $a=6$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathit{a}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{s}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{perpendiculares.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La perpendicularidad entre dos rectas solo afecta a sus direcciones, así que basta anular el producto escalar de los vectores directores; no hace falta que las rectas se corten.

${\vec{v}}_r\cdot {\vec{v}}_s=1\cdot (1+a)+(-1)\cdot (-a)+2\cdot 3a$

$=1+a+a+6a=1+8a$

$1+8a=0\Rightarrow a=-{\displaystyle \frac{1}{8}}$

Las rectas $r$ y $s$ son perpendiculares cuando $a=-{\displaystyle \frac{1}{8}}$. Como este valor no coincide con el del apartado anterior, para él las rectas se cruzan perpendicularmente sin llegar a cortarse.