Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

La recta perpendicular desde el punto $A(1,1,0)$ a un cierto plano $\pi$ corta a éste en el punto $B(1,{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$.

a) Calcule la ecuación del plano $\pi$. [1,5 puntos]

b) Halle la distancia del punto $A$ a su simétrico respecto a $\pi$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Si la recta $AB$ es perpendicular al plano, el vector $\overrightarrow{AB}$ es un vector normal de $\pi$, y además $B$ pertenece al plano por ser el punto de corte. Con eso queda determinado.

$\overrightarrow{AB}=(1,{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})-(1,1,0)=(0,-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$

Multiplicamos por $-2$ para trabajar con un normal de coordenadas enteras:

${\vec{n}}_{\pi }=(0,1,-1)$

$\pi :y-z+D=0$

Imponemos que $B$ pertenezca al plano:

${\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}+D=0\Rightarrow D=0$

El plano pedido es $\pi :y-z=0$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{A}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{sim}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{trico}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{a}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$











El enunciado ya da el pie de la perpendicular, que es precisamente $B$, así que basta imponer que sea el punto medio del segmento que une $A$ con su simétrico.

$A^{\mathrm{\prime }}=2B-A=(2-1,1-1,1-0)=(1,0,1)$





$d(A,A^{\mathrm{\prime }})=\mid \overrightarrow{A{A}^{\mathrm{\prime }}}\mid =\mid (0,-1,1)\mid =\sqrt{0+1+1}=\sqrt{2}$

El mismo resultado se obtiene observando que el simétrico está al doble de distancia que el plano:

$d(A,\pi )=\mid \overrightarrow{AB}\mid =\sqrt{0+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}};d(A,A^{\mathrm{\prime }})=2\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}$

La distancia del punto $A$ a su simétrico respecto de $\pi$ es $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,41}$ unidades.