Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Considere el plano $\pi \equiv x-y+z=2$ y la recta $r\equiv {\displaystyle \frac{x}{2}}={\displaystyle \frac{y+1}{1}}={\displaystyle \frac{z+2}{-1}}$.

a) Calcule la distancia entre $r$ y $\pi$. [1 punto]

b) Halle la ecuación general del plano perpendicular a $\pi$ que contiene a $r$. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{entre}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$











Hablar de distancia entre una recta y un plano solo tiene sentido si son paralelos; en otro caso se cortan y la distancia es nula. Lo comprobamos con el producto escalar del director por el normal.

$R(0,-1,-2),{\vec{v}}_r=(2,1,-1);{\vec{n}}_{\pi }=(1,-1,1)$

${\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }=2-1-1=0$





El producto es nulo, así que la recta es paralela al plano o está contenida en él. Sustituimos el punto $R$ en la ecuación del plano:

$0-(-1)+(-2)=-1\mathrm{\ne }2$

El punto no pertenece al plano, luego el paralelismo es estricto y la distancia entre ambos es la de cualquier punto de la recta al plano.

$d(r,\pi )=d(R,\pi )={\displaystyle \frac{\mid 0+1-2-2\mid }{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+1^2}}}={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{3}}}=\sqrt{3}$

La distancia entre la recta y el plano es $\sqrt{3}\approx \mathrm{1,73}$ unidades.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{general}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{a}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El plano buscado ha de contener dos direcciones: la de la propia recta, porque la contiene, y la del normal de $\pi$, porque ser perpendicular a un plano equivale a contener su dirección normal. Su vector normal es el producto vectorial de ambas.

${\vec{n}}_{\sigma }={\vec{v}}_r\times {\vec{n}}_{\pi }=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& 1& -1\\ 1& -1& 1\end{array}\mid =(0,-3,-3)$

Dividimos entre $-3$ para simplificar:

${\vec{n}}_{\sigma }=(0,1,1)$

$\sigma :y+z+D=0$

Imponemos que pase por $R(0,-1,-2)$, que es un punto de la recta:

$-1-2+D=0\Rightarrow D=3$

Comprobamos las dos condiciones: la perpendicularidad con $\pi$, pues $(0,1,1)\cdot (1,-1,1)=0$, y que la recta está contenida, pues $(0,1,1)\cdot (2,1,-1)=0$ y $R$ cumple la ecuación.

El plano pedido es $\sigma :y+z+3=0$.