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Examen de Matemáticas II de Andalucía 2020 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Andalucía, convocatoria extraordinaria de 2020. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Derivadas

Considere la función

f : R \to R

dada por

f (x) = e^{x} (x^{2} - 5 x + 6)

. Determine los intervalos de concavidad y de convexidad de

f

y los puntos de inflexión de su gráfica. [2,5 puntos]

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Ejercicio 2: Integrales y Áreas

Calcule

\int_{0}^{π} x {sen}^{2} (x) d x

. [2,5 puntos]

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Ejercicio 3: Sistemas de ecuaciones

Considere el sistema de ecuaciones dado por

A X = B

siendo

A = (\begin{array}{ccc} 1 & - 2 & 1 \\ m & 4 & - 2 \\ 0 & m + 2 & - 3 \end{array})

X = (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array})

B = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 m \\ 1 \end{array})

.

a) Discuta el sistema según los valores de

m

. [1,5 puntos]

b) Para

m = - 2

, ¿existe alguna solución con

z = 0

? En caso afirmativo, calcúlela. En caso negativo, justifique la respuesta. [1 punto]

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Ejercicio 4: Rectas y Planos

Considere el plano

π \equiv x - y + a z = 0

y la recta

r \equiv {\begin{cases} 4 x - 3 y + 4 z = 1 \\ 3 x - 2 y + z = 0 \end{cases}

a) Halle

a

sabiendo que

π

es paralelo a

r

. [1,5 puntos]

b) Determine el plano perpendicular a

r

que pasa por el punto

P (1, 2, 3)

. [1 punto]

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Ejercicio 5: Derivadas

Sea la función derivable

f : R \to R

definida por

f (x) = {\begin{cases} e^{2 a x - 4 b} & si x < 1 \\ 1 - x \ln x & si x \geq 1 \end{cases}

(

\ln

denota la función logaritmo neperiano).

a) Determine los valores de

a

b

. [1,75 puntos]

b) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 2

. [0,75 puntos]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Integrales y Áreas

Considere las funciones

f, g : R \to R

definidas por

f (x) = ∣ x ∣

g (x) = x^{2} - 2

.

a) Calcule los puntos de corte de las gráficas de

f

g

. Esboce el recinto que determinan. [1 punto]

b) Determine el área del recinto anterior. [1,5 puntos]

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Ejercicio 7: Matrices

Considere

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{array})

X = (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array})

.

a) Halle los valores de

λ

tales que

∣ A - λ I ∣ = 0

, donde

I

es la matriz identidad de orden 3. [1,25 puntos]

b) Para

λ = 1

, resuelva el sistema dado por

(A - λ I) X = 0

. ¿Existe alguna solución tal que

z = 1

? En caso afirmativo, calcúlela. En caso negativo, justifique la respuesta. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Rectas y Planos

Considere el plano

π \equiv x - y + z = 2

y la recta

r \equiv \frac{x}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 2}{- 1}

.

a) Calcule la distancia entre

r

π

. [1 punto]

b) Halle la ecuación general del plano perpendicular a

π

que contiene a

r

. [1,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 8