Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Calcule ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }x{\mathrm{sen}}^2(x)dx}$. [2,5 puntos]

El integrando lleva el cuadrado de un seno, que conviene rebajar de grado con la fórmula del ángulo doble antes de integrar por partes.

${\mathrm{sen}}^2(x)={\displaystyle \frac{1-\cos (2x)}{2}}$

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }x{\mathrm{sen}}^2(x)dx={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{\pi }xdx-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{\pi }x\cos (2x)dx}$

El primer sumando es inmediato:

${\displaystyle \frac{1}{2}}{\left[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\right]}_0^{\pi }={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{4}}$

El segundo se resuelve por partes, con $u=x$ y $dv=\cos (2x)dx$:

$\{\begin{array}{ll}u=x& du=dx\\ dv=\cos (2x)dx& v={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}(2x)}{2}}\end{array}$

${\displaystyle \int x\cos (2x)dx={\displaystyle \frac{x\mathrm{sen}(2x)}{2}}-\int {\displaystyle \frac{\mathrm{sen}(2x)}{2}}dx={\displaystyle \frac{x\mathrm{sen}(2x)}{2}}+{\displaystyle \frac{\cos (2x)}{4}}}$

${[{\displaystyle \frac{x\mathrm{sen}(2x)}{2}}+{\displaystyle \frac{\cos (2x)}{4}}]}_0^{\pi }=(0+{\displaystyle \frac{1}{4}})-(0+{\displaystyle \frac{1}{4}})=0$

El segundo sumando se anula, así que solo queda el primero:

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }x{\mathrm{sen}}^2(x)dx={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{4}}}$

El valor de la integral es ${\displaystyle \frac{{\pi }^2}{4}}\approx \mathrm{2,47}$.