Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

a) Sea la curva $f(x)=a-x^2$.

a.1) [0,5 puntos] ¿Qué valores puede tomar $a\in \mathbb{R}$ para que la curva $f(x)=a-x^2$ corte al eje de abscisas (eje OX) en dos puntos y, por tanto, delimite con dicho eje un recinto cerrado?

a.2) [1 punto] Encuentre razonadamente $a\in \mathbb{R}$ para que el área de dicho recinto valga 36.

b) [1 punto] Resuelva la siguiente integral:

${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x}{\sqrt{1+3x^2}}}dx}$

El cambio de variable $t=1+3x^2$ le puede ayudar.

Los cortes con el eje de abscisas son las soluciones de $f(x)=0$.

$a-x^2=0\Rightarrow x^2=a\Rightarrow x=\pm \sqrt{a}$

Para que haya dos puntos de corte distintos hace falta que la raíz exista y no sea nula.

$a>0$

La curva corta al eje de abscisas en dos puntos, $(-\sqrt{a},0)$ y $(\sqrt{a},0)$, exactamente cuando $a>0$. Es una parábola con las ramas hacia abajo y vértice en $(0,a)$, de modo que en ese caso encierra con el eje un recinto cerrado.



Entre $-\sqrt{a}$ y $\sqrt{a}$ la parábola queda por encima del eje, así que el área es directamente la integral definida.

$A={\int }_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}}(a-x^2)dx={[ax-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}}$

$A=(a\sqrt{a}-{\displaystyle \frac{a\sqrt{a}}{3}})-(-a\sqrt{a}+{\displaystyle \frac{a\sqrt{a}}{3}})={\displaystyle \frac{4a\sqrt{a}}{3}}$

Imponemos que valga $36$.

${\displaystyle \frac{4a\sqrt{a}}{3}}=36\Rightarrow a\sqrt{a}=27\Rightarrow a^{3\mathrm{/}2}=27\Rightarrow a={27}^{2\mathrm{/}3}=9$



El valor buscado es $a=9$, que además cumple la condición $a>0$ del apartado anterior.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Resuelva}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{siguiente}}\mathbf{\text{integral:}}$



Aplicamos el cambio de variable sugerido, que convierte el integrando en una potencia.

$t=1+3x^2\Rightarrow dt=6xdx\Rightarrow xdx={\displaystyle \frac{dt}{6}}$

$\int {\displaystyle \frac{2x}{\sqrt{1+3x^2}}}dx=\int {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{t}}}\cdot {\displaystyle \frac{dt}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\int t^{-1\mathrm{/}2}dt$

$={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 2\sqrt{t}+C={\displaystyle \frac{2\sqrt{t}}{3}}+C$

Deshacemos el cambio:

$\int {\displaystyle \frac{2x}{\sqrt{1+3x^2}}}dx={\displaystyle \frac{2\sqrt{1+3x^2}}{3}}+C$