Examen de Matemáticas II de Castilla-La Mancha 2022 (convocatoria ordinaria)

a) [1,5 puntos] Encuentre todas las matrices $X$ que conmutan con la matriz

$A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& -1\end{array}\right)$

es decir, que verifican que $AX=XA$.

b) [1 punto] ¿Existe alguna matriz simétrica que conmute con $A$ y cuyo determinante valga 4?

a) [1,5 puntos] Tres lápices, un cuaderno y una agenda han costado 5 euros, lo mismo que dos cuadernos y una agenda. ¿Podemos saber el precio de cada artículo si ninguno es gratis y en céntimos todos son múltiplos de 50?

b) [1 punto] Calcule razonadamente el siguiente límite:

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{x+1}{x}}\right)}^{\frac{x^2+1}{x}}$

a) Sea la curva $f(x)=a-x^2$.

a.1) [0,5 puntos] ¿Qué valores puede tomar $a\in \mathbb{R}$ para que la curva $f(x)=a-x^2$ corte al eje de abscisas (eje OX) en dos puntos y, por tanto, delimite con dicho eje un recinto cerrado?

a.2) [1 punto] Encuentre razonadamente $a\in \mathbb{R}$ para que el área de dicho recinto valga 36.

b) [1 punto] Resuelva la siguiente integral:

${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x}{\sqrt{1+3x^2}}}dx}$

El cambio de variable $t=1+3x^2$ le puede ayudar.

Sean las rectas

$r\equiv \{\begin{array}{l}x=2\lambda \\ y=-\lambda \\ z=a\end{array}s\equiv \{\begin{array}{l}x=-1\\ y=\mu \\ z=-5\mu \end{array}$

donde $\lambda$ y $\mu$ son los parámetros y $a\in \mathbb{R}$.

a) [1,5 puntos] Estudie su posición relativa en función de los valores que toma $a$.

b) [1 punto] Encuentre razonadamente un plano que contenga a $s$ y que sea paralelo a $r$.

a) [1 punto] Exprese razonadamente en forma de ecuaciones paramétricas la recta intersección de los planos ${\pi }_1\equiv x=y+1$ y ${\pi }_2\equiv y+2z=5$.

b) [1,5 puntos] Enuncie el teorema del valor medio del cálculo integral. Encuentre razonadamente el punto al que hace alusión dicho teorema para la función $f(x)=3\mathrm{/}{x}^2$ en el intervalo $[1,3]$. Interprete geométricamente lo hallado.

a) [1,5 puntos] Estudie el rango de la matriz $M$ en función del parámetro $m\in \mathbb{R}$, siendo

$M=\left(\begin{array}{cccc}2& m& 0& 1\\ 2& 1& 0& m\\ 4& 1& m& 2\end{array}\right)$

b) [1 punto] Sean los planos ${\pi }_1\equiv 2x+my=1$, ${\pi }_2\equiv 2x+y=m$ y ${\pi }_3\equiv 4x+y+mz=2$. Estudie su posición relativa según los valores de $m$. Puede utilizar los resultados obtenidos en el apartado anterior.

a) [1,25 puntos] Sean los vectores $\vec{u}=(1,1,1)$ y $\vec{v}=(1,0,1)$. Calcule el plano que pasa por el punto $A=(0,0,1)$ y con vector normal el producto vectorial de $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

b) El EVAU club de fútbol tiene una probabilidad del 90 % de ganar un partido cuando juega Benceno (su delantero estrella) y del 60 % cuando no lo hace. Se sabe que la probabilidad de que Benceno juegue un partido es del 80 %.

b.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el EVAU C.F. gane un partido cualquiera?

b.2) [0,75 puntos] Si el EVAU C.F. acaba de ganar un partido, ¿cuál es la probabilidad de que Benceno haya jugado?

a) Se calcula que una quinta parte de los niños españoles presentan algún tipo de intolerancia alimentaria. En una cantina escolar los niños se sientan al azar en mesas de 4 comensales.

a.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que en una mesa haya algún niño con intolerancia alimentaria?

a.2) [0,75 puntos] Cuando en una mesa hay algún niño con intolerancia alimentaria, a esa mesa se le sirve el pan sin gluten. Si un día hay ocupadas 8 mesas, ¿cuál es la probabilidad de que haya que servir pan sin gluten en alguna mesa?

b) El peso de los paquetes de 1 kg de arroz que comercializa determinada marca sigue una distribución normal de 985 g de media y 25 g de desviación típica.

b.1) [0,5 puntos] ¿Cuántos pesarán más de un kilo?

b.2) [0,75 puntos] ¿Cuánto pesará el más ligero del 70 % de los que más pesan?